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Sezione II.

TEORIA DELLE CURVE POLARI.

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Art. XIII.

Definizione e proprietà fondamentali delle curve polari.

68. Sia data una linea piana ${\rm {C_{n}}}$ dell’ordine $n$, e sia $o$ un punto fissato ad arbitrio nel suo piano. Se intorno ad $o$ si fa girare una trasversale che in una posizione qualunque seghi ${\rm {C_{n}}}$ in $n$ punti $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$, il luogo de’ centri armonici, di grado $r$, del sistema $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$ (11) sarà una curva dell’ordine $r$, perchè essa ha $r$ punti sopra ogni trasversale condotta per $o$. Tale curva si dirà polare $(n-r)$^esima del punto $o$ rispetto alla curva data (curva fondamentale)¹.

Così il punto $o$ dà origine ad $n-1$ curve polari relative alla linea data. La prima polare è una curva d’ordine $n-1$; la seconda polare è dell’ordine $n-2$; ecc. L’ultima od $(n-1)$^ma polare, cioè il luogo dei centri armonici di primo grado, è una retta².

69. I teoremi altrove dimostrati (Art. III), pei centri armonici di un sistema di $n$ punti in linea retta, si traducono qui in altrettante proprietà delle curve polari relative alla curva data.

(a) Il teorema (12) può essere espresso così: se $m$ è un punto della polare $(n-r)$^ma di $o$, viceversa $o$ è un punto della polare $(r)$^ma di $m$³.

Ossia:

Il luogo di un polo, la cui polare $(r)$^ma passi per un dato punto $o$, è la polare $(n-r)$^ma di $o$.

Per esempio: la prima polare di $o$ è il luogo de’ poli le rette polari de’ quali passano per $o$; la seconda polare di $o$ è il luogo de’ poli le cui coniche polari passano per questo punto; ecc.

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1. Grassmann, Theorie der Centralen (Giornale di Crelle, t. 24, Berlino 1842, p. 262).
2. Il teorema relativo ai centri armonici di primo grado è di Cotes; vedi Maclaurin, l. c. p. 205.
3. Bobillier, Théorèmes sur les polaires successives (Annales de Gergonne, t. 19, Nismes 1828-29, p. 305).