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intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria.

9.

Ricerchiamo ora se fra le rette determinate nel paragrafo precedente, ve ne siano di quelle che colle rispettive omologhe siano divise in parti eguali dai punti omologhi. Riprese le coordinate trilineari, siano A, B, C gli angoli del triangolo formato dalle rette doppie:

x = 0,     y = 0,     z = 0

saranno quindi:

15)	ax sen A + by sen B + cz sen C = 0 ${\frac {x}{a}}\operatorname {sen} \mathrm {A} +{\frac {y}{b}}\operatorname {sen} \mathrm {B} +{\frac {z}{c}}\operatorname {sen} \mathrm {C} =0$

le equazioni delle due rette che nelle due figure hanno le omologhe a distanza infinita. Sia poi LM, LN, una coppia qualunque di rette omologhe, rispettivamente parallele alle precedenti; le loro equazioni saranno della forma:

(a + s) x sen A + (b + s) y sen B + (c + s) z sen C = 0

$\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{s}}\right)x\operatorname {sen} \mathrm {A} +\left({\frac {1}{b}}+{\frac {1}{s}}\right)y\operatorname {sen} \mathrm {B} +\left({\frac {1}{c}}+{\frac {1}{s}}\right)z\operatorname {sen} \mathrm {C} =0$

ove s è la quantità che individua la coppia delle rette omologhe.

Il punto L ad esse comune ha per coordinate:

x : y : z =${\frac {a(b-c)}{(a+s)\operatorname {sen} \mathrm {A} }}$ : ${\frac {b(c-a)}{(b+s)\operatorname {sen} \mathrm {B} }}$ : ${\frac {c(a-b)}{(c+s)\operatorname {sen} \mathrm {C} }}$

considerato questo punto come appartenente alla prima retta avrà per omologo l’M determinate dalle:

x : y : z =${\frac {a^{2}(b-c)}{(a+s)\operatorname {sen} \mathrm {A} }}$ : ${\frac {b^{2}(c-a)}{(b+s)\operatorname {sen} \mathrm {B} }}$ : ${\frac {c^{2}(a-b)}{(c+s)\operatorname {sen} \mathrm {C} }}$

e considerato come appartenente alla seconda retta avrà per omologo l’N determinato dalle:

x : y : z =${\frac {b-c}{(a+s)\operatorname {sen} \mathrm {A} }}$ : ${\frac {c-a}{(b+s)\operatorname {sen} \mathrm {B} }}$ : ${\frac {a-b}{(c+s)\operatorname {sen} \mathrm {C} }}$.

Quindi l’equazione della retta MN sarà:

(b + c) (a + s) x sen A + (c + a) (b + s) y sen B + (a + b) (c + s) z sen C = 0.