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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Per ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti dati (34) passano infinite curve d’ordine $n$, due delle quali si segheranno in altri $n^{2}-\left({\tfrac {n(n+3)}{2}}-1\right)={\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ punti; questi apparterranno dunque anche a tutte le altre curve descritte pei punti dati. Ossia:

Per ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti dati ad arbitrio passano infinite curve d’ordine $n$, le quali,⁵¹ oltre i dati, hanno in comune altri ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ punti determinati¹.

Una qualunque di tali curve è individuata da un punto arbitrario, aggiunto ai dati ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$; cioè fra le infinite curve passanti per ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti dati, ve n’ha una sola che passi per un altro punto preso ad arbitrio. Ne segue che l’indice della serie formata da quelle infinite curve (34) è 1. Ad una serie siffatta si dà il nome di fascio; ossia per fascio d’ordine $n$ s’intende il sistema delle infinite curve di quest’ordine, che passano per ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti dati ad arbitrio e, per conseguenza, per altri ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ punti individuati. Il complesso delle $n^{2}$ intersezioni comuni alle curve d’un fascio dicesi base del fascio.

Analoghe proprietà hanno luogo per le curve di data classe. Le $m^{2}$ tangenti comuni a due curve di classe $m$ toccano infinite altre curve della stessa classe. Vi ha una sola curva di classe $m$ che tocchi ${\tfrac {m(m+3)}{2}}$ rette date ad arbitrio. Tutte le curve di classe $m$ tangenti ad ${\tfrac {m(m+3)}{2}}-1$ rette arbitrarie hanno altre ${\tfrac {(m-1)(m-2)}{2}}$ tangenti comuni individuate.

Art. IX.

Altri teoremi fondamentali sulle curve piane.

42. Fra gli ${\tfrac {n(n+3)}{2}}$ punti, che determinano una curva semplice d’ordine $n$, ve ne possono essere tutt’al più $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ situati in una curva d’ordine $p<n$. Infatti, se $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}+1$ punti giacessero in una curva d’ordine $p$, i rimanenti

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1. Plücker, Analytisch-geometrische Entwicklungen, 1. Bd., Essen 1828, p. 229.