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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

(d). Supposti i punti $a''b''c''$ in linea retta, gli altri sei $aa'bb'cc'$ sono in una curva di second’ordine; onde, se tre di questi, $a'b'c'$, coincidono, si avrà:

Se tre trasversali condotte da un punto $a'$ di una cubica tagliano questa in tre punti $a''b''c''$ situati in linea retta ed in altri tre punti $abc$, la cubica avrà in $a'$ un contatto tripunto con una curva di second’ordine passante per $abc$.

Se $a''b''c''$ coincidono in un flesso, dal teorema precedente si ricava:

Ogni trasversale condotta per un flesso di una cubica sega questa in due punti, ne’ quali la curva data ha due contatti tripunti con una stessa curva di second’ordine¹.

E per conseguenza:

Se da un flesso di una cubica si conduce una retta a toccarla in un altro punto, in questo la cubica ha un contatto sipunto con una curva di second’ordine².

40. Consideriamo una curva-inviluppo della classe $m$, rappresentata dall’equazione 2'). Per ottenere le tangenti di questa curva, passanti per ${\rm {A}}$, dobbiamo fare ivi ${\tfrac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}=0$; l’equazione risultante darà i valori dell’altra coordinata relativi ai punti $a,\,a',\dots$ in cui il lato ${\rm {BC}}$ è incontrato dalle tangenti passanti per ${\rm {A}}$. Avremo così:

${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}.{\frac {a'\mathrm {B} }{a'\mathrm {C} }}\dots =(-1)^{m}{\frac {\rho }{\alpha }}$.

Analogamente, pei punti $b,\,b',\dots$ in cui il lato ${\rm {CA}}$ è incontrato dalle tangenti passanti per ${\rm {B}}$, avremo:

${\frac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}.{\frac {b'\mathrm {A} }{b'\mathrm {C} }}\dots =(-1)^{m}{\frac {\rho }{\pi }}$.

Dividasi ora l’equazione 2') per $\left({\tfrac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}\right)^{m}$; avuto riguardo alla relazione:

${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}:{\frac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}={\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}$,

si otterrà:

$\alpha \left({\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}\right)^{m}+\beta \left({\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}\right)^{m-1}.{\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}+\gamma \left({\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}\right)^{m-1}$ $+\dots +\pi +\rho \left({\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}\right)^{m}=0$.

Se in questa equazione si fa ${\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}=0$, si avranno i punti $c,c',\dots$ in cui ${\rm {AB}}$ è

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1. Poncelet, Analyse des transversales (Giornale di Crelle, t. 8, Berlino 1832, p. 129-135).
2. Plücker, Ueber Curven dritter Ordnung und analytische Beweisführung (Giornale di Crelle, t. 34, Berlino 1847, p. 330).