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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 355


(a) Per , dal teorema di Carnot si ricava che, se i lati d’un triangolo segano una curva del terz’ordine (o più brevemente cubica) in nove punti ha luogo la relazione segmentaria:

5)
.

Se i sei punti sono in una curva di second’ordine, si avrà anche la relazione 4), per la quale dividendo la 5) si ottiene:


cioè i punti saranno in linea retta. E viceversa, se sono in linea retta, gli altri sei punti sono in una curva di second’ordine.

(b) Quando il luogo di second’ordine riducasi al sistema di due rette coincidenti, si ha:

Se ne’ punti in cui una cubica è segata da una retta data si conducono le tangenti, queste vanno ad incontrare la curva in tre altri punti che giacciono in una seconda retta1.

Se una retta tocca una cubica in un punto e la sega semplicemente in , questo secondo punto dicesi tangenziale del primo. Onde possiamo dire che, se tre punti di una cubica sono in una retta , i loro tangenziali giacciono in una seconda retta .

La retta dicesi retta satellite di (retta primaria), ed il punto comune alle , si chiama punto satellite di .

Se è tangente alla cubica, il punto satellite coincide col tangenziale del punto di contatto, e la retta satellite è la tangente alla cubica nel punto satellite.

(c) Supponendo che la retta divenga una tangente stazionaria della cubica, si ha:

Se da un flesso di una cubica si conducono tre trasversali arbitrarie, queste la segano di nuovo in sei punti situati in una curva di second’ordine.

Dunque, se di questi sei punti, tre sono in linea retta, gli altri tre saranno in una seconda retta, epperò:

Se da un flesso si conducono tre tangenti ad una cubica, i tre punti di contatto sono in linea retta2.


  1. Vedi il trattato di Maclaurin sulle curve del 3.° ordine, tradotto da Jonquières: Mélanges de géométrie pure, Paris 1856, p. 223.
  2. Maclaurin, l. c. p. 226.