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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

dove facendo ${\tfrac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}=0$ si avranno i punti $c,\,c',\dots$ comuni alla curva ed alla retta ${\rm {AB}}$; dunque:

${\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}.{\frac {c'\mathrm {B} }{c'\mathrm {A} }}\dots ={\frac {\alpha }{\pi }}$.

Dai tre risultati così ottenuti si ricava:

3)	${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}.{\frac {a'\mathrm {B} }{a'\mathrm {C} }}\dots \times {\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}.{\frac {b'\mathrm {C} }{b'\mathrm {A} }}\dots \times {\frac {c\mathrm {A} }{c\mathrm {B} }}.{\frac {c'\mathrm {A} }{c'\mathrm {B} }}\dots =1$,

e si ha così il celebre teorema di Carnot¹:

Se una curva dell’ordine $n$ incontra i lati di un triangolo ${\rm {ABC}}$ ne’ punti $aa'\dots$ in ${\rm {BC}}$, $bb'\dots$ in ${\rm {CA}}$, $cc'\dots$ in ${\rm {AB}}$, si ha la relazione 3).

Questo teorema si applica anche ad un poligono qualsivoglia.

39. Per $n=1$ il teorema di Carnot rientra in quello di Menelao. Per $n=2$, si ha una proprietà di sei punti d’una curva di second’ordine. E siccome una curva siffatta è determinata da cinque punti (34), così avrà luogo il teorema inverso:

Se nei lati ${\rm {BC,\,CA,\,AB}}$ di un triangolo esistono sei punti $aa',\,bb',\,cc'$ tali che si abbia la relazione:

4)	${\frac {a\mathrm {B} .a'\mathrm {B} .b\mathrm {C} .b'\mathrm {C} .c\mathrm {A} .c'\mathrm {A} }{a\mathrm {C} .a'\mathrm {C} .b\mathrm {A} .b'\mathrm {A} .c\mathrm {B} .c'\mathrm {B} }}=1$,

i sei punti $aa'bb'cc'$ sono in una curva di second’ordine.

Se i punti $a'b'c'$ coincidono rispettivamente con $abc$, cioè se la curva tocca i lati del triangolo in $a,\,b,\,c$, la precedente relazione diviene:

${\frac {a\mathrm {B} .b\mathrm {C} .c\mathrm {A} }{a\mathrm {C} .b\mathrm {A} .c\mathrm {B} }}=\pm 1$.

De’ due segni, nati dall’estrazione della radice quadrata, non può prendersi il positivo, poichè in tal caso, pel teorema di Menelao, i tre punti $abc$ sarebbero in una retta: il che è impossibile, non potendo una curva di second’ordine essere incontrata da una retta in più che due punti. Preso adunque il segno negativo, si conclude, in virtù del teorema di Ceva, che le rette $\mathrm {A} a,\,\mathrm {B} b,\,\mathrm {C} c$ concorrono in uno stesso punto. Cioè: se una curva di second’ordine è inscritta in un triangolo, le rette che ne uniscono i vertici ai punti di contatto de’ lati opposti passano per uno stesso punto.

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1. Géométrie de position, Paris 1803, p. 291 {n. 235; e p. 436, n. 378.}⁵⁰