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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Suppongasi ora che la retta $ab$ varii inviluppando una curva della classe $m$; qual relazione avrà luogo fra le coordinate della retta variabile? Da un punto qualunque, l’equazione del quale sia la 1'), partono $m$ tangenti della curva, cioè $m$ posizioni della retta mobile. Dunque la relazione richiesta e l’equazione 1') dovranno essere sodisfatte simultaneamente da $m$ sistemi di valori delle coordinate. Onde s’inferisce che la relazione richiesta sarà del grado $m$ rispetto alle coordinate considerate insieme.

Dunque: se una retta si muove inviluppando una curva della classe $m$, fra le coordinate variabili della retta avrà luogo una relazione costante della forma:

2')	$\alpha \left({\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}\right)^{m}+\left[\beta +\gamma {\frac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}\right]\left({\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}\right)^{m-1}$ $+\dots +\pi \left({\frac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}\right)^{m}+\rho =0,$

la quale può risguardarsi come l’equazione della curva inviluppata dalla retta mobile.

Viceversa: se una retta varia per modo che le sue coordinate sodisfacciano costantemente ad una relazione della forma 2'), l’inviluppo della retta sarà una curva della classe $m$.

I due importanti porismi dimostrati in questo numero e nel precedente sono dovuti al sig. Chasles¹.

38. Riprendiamo l’equazione 2). Pei punti $a,\,a',\dots$ in cui la curva da essa rappresentata sega la retta ${\rm {CB}}$, la coordinata ${\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$ è nulla e l’altra coordinata si desumera dall’equazione medesima, ove si faccia ${\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}=0$. Si avrà così:

${\frac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}.{\frac {a'\mathrm {C} }{a'\mathrm {B} }}\dots =(-1)^{n}{\frac {\rho }{\alpha }}.$

Analogamente, pei punti $b,\,b',\dots$ in cui la curva sega ${\rm {CA}}$ si ottiene:

${\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}.{\frac {b'\mathrm {C} }{b'\mathrm {A} }}\dots =(-1)^{n}{\frac {\rho }{\pi }}.$

Divisa l’equazione 2) per $\left({\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}\right)^{n}$ e avuto riguardo al teorema di Ceva, si ha:

$\alpha +\beta {\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}-\gamma {\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}\dots +\pi \left(-{\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}\right)^{n}+\rho \left({\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}\right)^{n}=0$,

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1. Aperçu historique, p. 280. {Chasles, Lettre à M. Quetelet. Correspondance mathématique et physique, t. VI, pag. 81, Bruxelles 1830.}

Cremona, tomo I.

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