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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

che una curva semplice dell’ordine $n$ non può avere più di ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ punti doppi (comprese le cuspidi). Infatti: se ne avesse uno di più, per questi ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}+1$ e per altri $n-3$ punti della stessa curva, in tutto ${\tfrac {(n-2)(n-2+3)}{2}}$ punti, si potrebbe far passare una curva dell’ordine $n-2$, la quale avrebbe in comune colla linea data $2\left\{{\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}+1\right\}+n-3=n(n-2)+1$ intersezioni: il che è impossibile, se la curva data non è composta di linee d’ordine minore¹.

Art. VIII.

Porismi di Chasles e teorema di Carnot.

36. Sia dato (fig. 6.^a) un triangolo ${\rm {ABC}}$. Un punto qualunque $a$ di ${\rm {BC}}$ è individuato dal rapporto ${\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}$; e parimenti, un punto qualunque $b$ di ${\rm {CA}}$ è individuato dal rapporto ${\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$. Tirate le rette $\mathrm {A} a,\,\mathrm {B} b$, queste s’incontrino in un punto $m$, che è, per conseguenza, Fig.ª 6.ªFig.ª 6.ªdeterminato dai due rapporti ${\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }},\,{\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$, i quali chiameremo coordinate del punto $m$. La retta $\mathrm {C} m$ seghi ${\rm {AB}}$ in $c$: così si ottiene un terzo rapporto ${\tfrac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}$. Fra i tre rapporti ha luogo una semplice relazione, poichè, in virtù del noto teorema di

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1. Plücker, loco citato, p. 215.