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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Se questa dee contenere un altro punto successivo di ${\rm {A}}$, cioè se la retta ${\rm {A}}$ deve in $a$ avere $r$ punti comuni colla curva, ciò equivale ad una nuova condizione. Se la stessa cosa si esige per altre $r-1$ rette passanti per $a$, si avranno in tutto $x_{r-1}+r$ condizioni. Ora, quando per $a$ passano $r$ rette, ciascuna avente ivi $r$ punti comuni colla curva, $a$ è un punto multiplo secondo $r$ (31); dunque, se la curva deve avere in $a$ un punto $(r)^{plo}$, ciò equivale ad un numero $x_{r}=x_{r-1}+r$ di condizioni; ossia $x_{r}={\tfrac {r(r+1)}{2}}$.

34. Da quante condizioni è determinata una curva d’ordine $n$? Se la curva debba avere un dato punto $a$ multiplo secondo $n$, ciò equivale (33) ad ${\tfrac {n(n+1)}{2}}$ condizioni. Ma una linea d’ordine $n$, dotata di un punto $(n)^{plo}$ $a$, è il sistema di $n$ rette concorrenti in $a$ (31); e, affinchè queste siano pienamente individuate, basta che sia dato un altro punto per ciascuna di esse. Dunque:

Il numero delle condizioni che determinano una curva d’ordine $n$ è

${\frac {n(n+1)}{2}}+n={\frac {n(n+3)}{2}}$¹.

Se sono date solamente ${\frac {n(n+3)}{2}}-1$ condizioni, vi saranno infinite curve d’ordine $n$ che le potranno sodisfare, e fra esse ve ne saranno alcune (siane ${\rm {N}}$ il numero) che passeranno per un punto qualunque dato. L’intero sistema di quelle curve, in numero infinito, chiamasi serie d’ordine $n$ e d’indice ${\rm {N}}$².⁴⁸

Per esempio, le tangenti di una curva della classe $m$ formano una serie d’ordine 1 e d’indice $m$.

In generale esiste sempre una linea che inviluppa una serie data {d’indice ${\rm {N}}$}, cioè che in ciascun de’ suoi punti tocca una curva della serie. {Essa è il luogo dei punti, pei quali due delle ${\rm {N}}$ curve della serie coincidono.} Tutta la serie si può concepire generata dal movimento continuo di una curva, che vada cambiando di forma e di posizione, in modo però da sodisfare alle condizioni proposte. I punti, in cui una curva della serie sega quella che le succede immediatamente, sono anche i punti di contatto fra la prima di queste curve e la linea inviluppo della serie.⁴⁹

35. Il teorema or ora dimostrato (34) ci mette in grado di stabilire quest’altro:

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1. Così, una curva della classe $m$ è determinata da ${\tfrac {m(m+3)}{2}}$ condizioni.
2. Jonquières, Théorèmes généraux concernant les courbes géométriques planes d’un ordre quelconque (Journal de M. Liouville, [2^e série, t. 6] avril 1861, p. 113).