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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
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donde si ricava che
![{\displaystyle \gamma '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e2b9e9e12e56bd62af445be6803ec4843e919a)
è il punto medio del segmento
![{\displaystyle d'e'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028d60715be6de6aa8e77497c7355cc1abc858e9)
, cioè si ha
![{\displaystyle (d'e'\infty \gamma ')=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b768068d93e3daf605226e09b4ab96f2e31346)
, epperò
![{\displaystyle (dec\gamma )=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9a0f4ecaab3d90c3a459310291ad293e6707f1)
. Similmente si dimostra essere
![{\displaystyle (deb\beta )=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04382083610e4401214e715ad9c14af4c7651580)
,
![{\displaystyle (dea\alpha )=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c85cb6786bf61bb9f2d20b900d277e500124e6)
; vale a dire
![{\displaystyle d,\,e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c6ed1d2b4f43fa763cc1470175b4dd7c91717e)
sono i punti doppi dell’involuzione
1.
Il rapporto anarmonico
è dato dall’equazione 7), ossia è una radice cubica imaginaria di
. Per conseguenza, i quattro punti
od
non possono essere tutti reali. L’equazione 9) ha il secondo membro negativo o positivo, secondo che
siano punti reali o imaginari coniugati. Dunque, se i tre punti dati
sono tutti reali, i punti
sono imaginari coniugati; ma se due de’ tre punti dati sono imaginari coniugati, i punti
sono reali.
L’equazione 8) poi mostra che, se
, anche
; cioè, se due de’ punti dati coincidono in un solo, in questo cadono riuniti anche i punti
.
27. Chiameremo equianarmonico un sistema di quattro punti, i cui rapporti anarmonici fondamentali siano eguali, ossia un sistema di quattro punti aventi per rapporti anarmonici le radici cubiche imaginarie di
.
Quattro punti
in linea retta siano rappresentati (6) dall’equazione:
10)
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Se il sistema di questi quattro punti è equianarmonico, si avrà:
ovvero, sostituendo ai segmenti
le differenze
:
Sviluppando le operazioni indicate, quest’equazione si manifesta simmetrica rispetto ai quattro segmenti
, onde si potrà esprimerla per mezzo dei soli coefficienti della 10). Ed invero, coll’aiuto delle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un’equazione, si trova senza difficoltà:
come condizione necessaria e sufficiente affinchè i quattro punti rappresentati dalla
10) formino un sistema equianarmonico
2.
- ↑ Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage, Nürnberg 1856-57-60, p. 178.
- ↑ Painvin, Équation des rapports anharmoniques etc. (Nouvelles Annales de Mathématiques, t. 19. Paris 1860, p. 412).