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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Assunto ad arbitrio nella retta data un punto $m$, si determini un punto $m'$ per modo che sia

$(abcm)=(cabm').$

Variando simultaneamente $m,\,m'$ generano due punteggiate proiettive, nelle quali ai punti $a,\,b,\,c,\,m$ corrispondono ordinatamente $c,\,a,\,b,\,m'$. Se chiamansi $d,\,e$ i punti comuni di queste punteggiate, si avrà:

$(abcd)=(cabd),\quad (abce)=(cabe),$

cioè il proposto problema è risoluto da ciascuno de’ punti $d,\,e$.

Ora siano $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ i tre punti della retta data, che rendono armonici i tre sistemi $(b,c,a,\alpha )$, $(c,a,b,\beta )$, $(a,b,c,\gamma )$; i due sistemi $(a,b,c,\gamma )$, $(a,c,b,\beta )$ saranno projettivi, e siccome al punto $b$, considerato come appartenente all’uno o all’altro sistema, corrisponde sempre $c$, così le tre coppie $a\alpha ,\,bc,\,\beta \gamma$ sono in involuzione, cioè $a$ è un punto doppio dell’involuzione quadratica determinata dalle coppie $bc,\,\beta \gamma$. L’altro punto doppio della stessa involuzione è $\alpha$, poichè il segmento $bc$ è diviso armonicamente dai punti $a,\,\alpha$. Dunque $a,\,\alpha$ dividono armonicamente non solo $bc$, ma anche $\beta \gamma$. Si ha perciò:

$(bca\alpha )=(\beta \gamma a\alpha )=-1,$

ossia i sistemi $(b,c,a,\alpha )$, $(\beta ,\gamma ,\alpha ,a)$ sono projettivi: la qual cosa torna a dire che le coppie $a\alpha ,\,b\beta ,\,c\gamma$ sono in involuzione¹.⁴⁵

Da un punto $o$ preso ad arbitrio fuori della retta data imagininsi condotti i raggi $o(a,\alpha ,b,\beta ,c,\gamma )$ e $o(d,e)$, i quali tutti si seghino con una trasversale parallela ad $oc$ nei punti $a',\,\alpha ',\,b',\,\beta ',\,\infty ,\,\gamma ',\,d',\,e'$. Avremo:

$\lambda =(acdb)=(a'\infty d'b')={\frac {a'd'}{a'b'}},$

onde la 7) diverrà:

8)	${\overline {a'd'}}^{2}-a'd'.a'b'+{\overline {a'b'}}^{2}=0.$

Essendo $(abc\gamma )=-1$, si ha $(a'b'\infty \gamma ')=-1$, cioè $\gamma '$ è il punto medio del segmento $a'b'$. Quindi, per le identità: $a'd'=\gamma 'd'-\gamma 'a'$, $a'b'=-2\gamma 'a'$, la 8) diviene:

9)	${\overline {\gamma 'd'}}^{2}={\overline {\gamma 'e'}}^{2}=3\gamma 'a'.\gamma 'b',$

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1. Staudt, Geometrie der Lage, Nürnberg 1847, p. 121.