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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
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Assunto ad arbitrio nella retta data un punto
, si determini un punto
per modo che sia
Variando simultaneamente
generano due punteggiate proiettive, nelle quali ai punti
corrispondono ordinatamente
. Se chiamansi
i punti comuni di queste punteggiate, si avrà:
cioè il proposto problema è risoluto da ciascuno de’ punti
.
Ora siano
i tre punti della retta data, che rendono armonici i tre sistemi
,
,
; i due sistemi
,
saranno projettivi, e siccome al punto
, considerato come appartenente all’uno o all’altro sistema, corrisponde sempre
, così le tre coppie
sono in involuzione, cioè
è un punto doppio dell’involuzione quadratica determinata dalle coppie
. L’altro punto doppio della stessa involuzione è
, poichè il segmento
è diviso armonicamente dai punti
. Dunque
dividono armonicamente non solo
, ma anche
. Si ha perciò:
ossia i sistemi
,
sono projettivi: la qual cosa torna a dire che le coppie
sono in involuzione1.45
Da un punto
preso ad arbitrio fuori della retta data imagininsi condotti i raggi
e
, i quali tutti si seghino con una trasversale parallela ad
nei punti
. Avremo:
onde la 7) diverrà:
8)
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Essendo
, si ha
, cioè
è il punto medio del segmento
. Quindi, per le identità:
,
, la 8) diviene:
9)
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- ↑ Staudt, Geometrie der Lage, Nürnberg 1847, p. 121.