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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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${\overline {oe}}^{2}={\overline {of}}^{2}=$ cost.; avremo:

$(efaa')=(efa'a),$

cioè il rapporto anarmonico $(efaa')$ è eguale al suo reciproco, epperò è $=-1$, non potendo mai il rapporto anarmonico di quattro punti distinti essere eguale all’unità positiva. Dunque: nell’involuzione quadratica, i due punti doppi e due punti coniugati qualunque formano un sistema armonico.

Ne segue che un’involuzione di secondo grado si può considerare come la serie delle infinite coppie di punti $a\,a'$ che dividono armonicamente un dato segmento $ef$.

(b) Due involuzioni quadratiche situate in una stessa retta hanno un gruppo comune, cioè vi sono due punti $a,\,a'$ tali, che il segmento $aa'$ è diviso armonicamente sì dai punti doppi $e,\,f$ della prima, che dai punti doppi $g,\,h$ della seconda involuzione. Infatti: sia preso un punto qualunque $m$ nella retta data; siano $m'$ ed $m_{1}$, i coniugati di $m$ nelle due involuzioni. Variando $m$, i punti $m',\,m_{1}$, generano due punteggiate projettive, i punti comuni delle quali costituiscono evidentemente il gruppo comune alle due involuzioni proposte.

È pure evidente che due involuzioni di grado eguale, ma superiore al secondo, situate in una stessa retta, non avranno in generale alcun gruppo comune.

26. La teoria dell’involuzione quadratica ci servirà nel risolvere il problema che segue.

Se $a\,b\,c\,d$ sono quattro punti in linea retta, abbiamo denominati fondamentali (1) i tre rapporti anarmonici:

$(abcd)=\lambda ,\,(acdb)={\frac {1}{1-\lambda }},\,(adbc)={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.$

Se i primi due rapporti sono eguali fra loro, vale a dire, se:

7)	$\lambda ={\frac {1}{1-\lambda }}$ ossia $\lambda ^{2}-\lambda +1=0,$

si ha anche:

$\lambda ={\frac {\lambda -1}{\lambda }},$

cioè tutti e tre i rapporti anarmonici fondamentali sono eguali fra loro.

Dati i punti $a\,b\,c$ in una retta, cerchiamo di determinare in questa un punto $d$, tale che sodisfaccia all’eguaglianza:

$(abcd)=(acdb),$

ossia:

$(abcd)=(cabd).$