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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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ove ${\rm {A}}$ è un punto qualunque della retta, nella quale è data la seconda involuzione; ${\rm {O}}$ è l’origine de’ segmenti in questa retta; ${\rm {H_{m},\,K_{m},\dots }}$ sono coefficienti costanti.

Supponiamo, com’è evidentemente lecito, che ai gruppi $\omega =0,\,\omega =\infty ,\,\omega =1$ della prima involuzione corrispondano nella seconda i gruppi $\theta =0,\,\theta =\infty ,\,\theta =1$. Allora, affinchè le equazioni 1) e 3) rappresentino due gruppi corrispondenti, è necessario e sufficiente che il rapporto anarmonico dei quattro gruppi $\omega =(0,\infty ,1,\omega )$ della prima involuzione sia eguale a quello de’ gruppi $\theta =(0,\infty ,1,\theta )$ della seconda, cioè dev’essere $\omega =\theta$. Dunque la seconda involuzione, a cagione della sua projettività colla prima, si potrà rappresentare così:

4)	$\mathrm {K} _{m}.{\overline {\mathrm {OA} }}^{m}+\dots +\mathrm {K} _{0}+\omega \left\{\mathrm {H} _{m}{\overline {\mathrm {OA} }}^{m}+\dots +\mathrm {H} _{0}\right\}=0.$

Le equazioni 1) e 4), per uno stesso valore di $\omega$, danno due gruppi corrispondenti delle due involuzioni projettive. Ed eliminando $\omega$ fra le equazioni medesime si avrà la relazione che esprime il legame o la corrispondenza dei punti $a,\,\mathrm {A}$.

(b) Se le due involuzioni sono in una stessa retta, i punti $a,\,\mathrm {A}$ si possono riferire ad una sola e medesima origine: cioè al punto ${\rm {O}}$ può sostituirsi $o$. In questo caso, si può anche domandare quante volte il punto $a$ coincida con uno de’ corrispondenti punti ${\rm {A}}$. Eliminato $\omega$ dalle 1), 4) e posto $oa$ in luogo di ${\rm {OA}}$, si ha la:

5)	$(k_{n}.{\overline {oa}}^{n}+\dots +k_{0})(\mathrm {H} _{m}.{\overline {oa}}^{m}+\dots +\mathrm {H} _{0})$ $-(h_{n}.{\overline {oa}}^{n}+\dots +h_{0})(\mathrm {K} _{m}.{\overline {oa}}^{m}+\dots +\mathrm {K} _{0})=0$,

equazione del grado $n+m$ rispetto ad $oa$. Dunque:

In una retta, nella quale sian date due involuzioni projettive, l’una di grado ${\rm {n}}$, l’altra di grado ${\rm {m}}$, esistono generalmente ${\rm {n+m}}$ punti, ciascun de’ quali considerato come appartenente alla prima involuzione, coincide con uno de’ punti corrispondenti nella seconda.

Questi si chiameranno i punti comuni alle due involuzioni.

(c) Se l’equazione 1) contenesse nel suo primo membro il fattore ${\overline {oa}}^{r}$, essa rappresenterebbe un’involuzione del grado $n$, i cui gruppi avrebbero $r$ punti comuni, tutti riuniti in $o$; ossia rappresenterebbe sostanzialmente un’involuzione del grado $n-r$, a ciascun gruppo della quale è aggiunto $r$ volte il punto $o$. In tal caso è manifesto che anche il primo membro dell’equazione 5) sarà divisibile per ${\overline {oa}}^{r}$; cioè gli $n+m$ punti comuni alle due involuzioni proposte saranno costituiti dal punto $o$ preso $r$ volte e dagli $m+n-r$ punti comuni alla seconda involuzione (di grado $m$) ed a quella di grado $n-r$, alla quale si riduce la prima, spogliandone i gruppi del punto $o$.