Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/352

338

introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Sia $m$ uno de’ centri armonici, di grado $r$ (rispetto ad un polo $o$), di un dato gruppo dell’involuzione 1). L’equazione 6) del n. 17, avuto riguardo alla 1) del n. 21, ci darà:

2)	${\overline {om}}^{r}(k_{r}+\omega h_{r})+(n-r+1){\overline {om}}^{r-1}(k_{r-1}+\omega h_{r-1})\dots$ $\dots +{\frac {n(n-1)\dots (n-r+1)}{1.2\dots r}}(k_{0}+\omega h_{0})=0;$

dunque: i centri armonici, di grado $r$, de’ gruppi dell’involuzione 1) formano una nuova involuzione del grado $r$. Ogni valore di $\omega$ dà un gruppo dell’involuzione 1) ed un gruppo dell’involuzione 2), cioè i gruppi delle due involuzioni si corrispondono tra loro ad uno ad uno. E siccome il rapporto anarmonico di quattro gruppi dipende esclusivamente dai quattro corrispondenti valori di $\omega$, così il rapporto anarmonico di quattro gruppi dell’involuzione 2) è eguale al rapporto anarmonico de’ quattro corrispondenti gruppi dell’involuzione 1). La qual cosa risulta anche da ciò, che due gruppi corrispondenti delle due involuzioni hanno, rispetto al polo $o$, lo stesso centro armonico di primo grado (13)¹.

24. Due involuzioni date sopra una stessa retta o sopra due rette diverse si diranno projettive, quando i centri armonici, di primo grado, de’ gruppi dell’una, rispetto ad un polo qualunque, ed i centri armonici, di primo grado, de’ gruppi dell’altra, rispetto ad un altro polo qualunque, formino due punteggiate projettive. Da questa definizione e da quella del rapporto anarmonico di quattro gruppi di un’involuzione si raccoglie che:

Date due involuzioni projettive, il rapporto anarmonico di quattro gruppi dell’una è eguale al rapporto anarmonico de’ quattro corrispondenti gruppi dell’altra.

Cioè il teorema enunciato alla fine del n. 8 comprende anche le involuzioni, purchè queste si risguardino quali forme geometriche, i cui elementi sono gruppi di punti.

(a) Cerchiamo come si esprima la projettività di due involuzioni.

La prima di esse si rappresenti coll’equazione 1) e la seconda con quest’altra:

3)	$\mathrm {K} _{m}{\overline {\mathrm {OA} }}^{m}+\dots +\mathrm {K} _{0}+\theta \left\{\mathrm {H} _{m}{\overline {\mathrm {OA} }}^{m}+\dots +\mathrm {H} _{0}\right\}=0,$

---

1. {I centri armonici di grado $n-1$ di un dato gruppo di $n$ punti in linea retta, rispetto ai vari punti di questa retta presi successivamente come poli, costituiscono gruppi in involuzione. (Per esempio, se i punti dati sono $a\,b\,c$, i centri armonici di 2° grado, rispetto ai poli $a,\,b,\,c$, sono $a\alpha ,\,b\beta ,\,c\gamma$, ove $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ siano i coniugati armonici di $a,\,b,\,c$ rispetto alle coppie $bc,\,ca,\,ab$. Dunque le coppie $a\alpha ,\,b\beta ,\,c\gamma$ sono in involuzione).
   In generale i punti doppi di quella involuzione costituiscono l’Hessiano del sistema dato.}