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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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gliandolo a zero, si avrà un’equazione del grado $2(n-1)$ in $\omega$ . Ciò significa esservi $2(n-1)$ gruppi, ciascuno de’ quali contiene due punti coincidenti, ossia:

Un’involuzione del grado $n$ ha $2(n-1)$ punti doppi¹.

23. Siano $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ gli $n$ punti costituenti un dato gruppo. Il centro armonico $m$ , di primo grado, di questi punti, rispetto ad un polo $o$ preso ad arbitrio sulla retta data, è determinato dall’equazione:

${\frac {n}{om}}=\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$ ,

donde, avuto riguardo alla 1), si trae:

$om=-n{\frac {k_{0}+\omega h_{0}}{k_{1}+\omega h_{1}}}.$

Quindi, il segmento compreso fra due punti $m,\,m'$ , centri armonici di due gruppi diversi, si potrà esprimere così:

$mm'=om'-om={\frac {n(h_{0}k_{1}-h_{1}k_{0})(\omega -\omega ')}{(k_{1}+\omega h_{1})(k_{1}+\omega 'h_{1})}}.$

Siano ora $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,m_{4}$ i centri armonici (di primo grado e relativi al polo $o$ ) di quattro gruppi, corrispondenti a quattro valori $\omega _{1},\,\omega _{2},\,\omega _{3},\,\omega _{4}$ di $\omega$ ; avremo:

$(m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})={\frac {\omega _{1}-\omega _{3}}{\omega _{2}-\omega _{3}}}:{\frac {\omega _{1}-\omega _{4}}{\omega _{2}-\omega _{4}}};$

questo risultato non si altera, se invece di $o$ si assuma un altro punto; cioè il rapporto anarmonico dei quattro centri è indipendente dal polo $o$ . Ne segue che la serie de’ centri armonici (di primo grado) di tutt’i gruppi, rispetto ad un polo $o$ , e la serie de’ centri armonici (dello stesso grado) de’ gruppi medesimi, rispetto ad un altro polo $o'$ , sono due punteggiate projettive.

Per rapporto anarmonico di quattro gruppi di un’involuzione, intenderemo il rapporto anarmonico de’ loro centri armonici di primo grado, relativi ad un polo arbitrario.

↑ [Altra dimostrazione, ricorrendo ai n.ⁱ 23, 24] {I centri armonici di grado $n-1$ dei gruppi dell’involuzione, rispetto a due poli $o,\,o'$ , formano due nuove involuzioni di grado $n-1$ , projettive alla data, epperò projettive fra loro. Queste due nuove involuzioni hanno $2(n-1)$ punti comuni, che sono i punti doppi della data}.

Cremona, tomo I.

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[1] [Altra dimostrazione, ricorrendo ai n.ⁱ 23, 24] {I centri armonici di grado $n-1$ dei gruppi dell’involuzione, rispetto a due poli $o,\,o'$ , formano due nuove involuzioni di grado $n-1$ , projettive alla data, epperò projettive fra loro. Queste due nuove involuzioni hanno $2(n-1)$ punti comuni, che sono i punti doppi della data}.

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