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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Art. IV.

Teoria dell’involuzione.⁴⁴

21. Data una retta, sia $o$ un punto fisso in essa, $a$ un punto variabile; inoltre siano $k_{1},\,k_{2}\dots ,h_{1},\,h_{2}\dots$ quantità costanti ed $\omega$ una quantità variabile. Ora abbiasi un’equazione della forma:

1)	$k_{n}{\overline {oa}}^{n}+k_{n-1}{\overline {oa}}^{n-1}\dots +k_{0}$ $+\omega \left\{h_{n}{\overline {oa}}^{n}+h_{n-1}{\overline {oa}}^{n-1}\dots +h_{0}\right\}=0$.

Ogni valore di $\omega$ dà $n$ valori di $oa$, cioè dà un gruppo di $n$ punti $a$. Invece, se è dato uno di questi punti, sostituendo nella 1) il dato valore di $oa$, se ne dedurrà il corrispondente valore di $\omega$, e quindi, per mezzo dell’equazione medesima, si otterranno gli altri $n-1$ valori di $oa$. Dunque, per ogni valore di $\omega$, l’equazione 1) rappresenta un gruppo di $n$ punti così legati fra loro, che uno qualunque di essi determina tutti gli altri. Il sistema degli infiniti gruppi di $n$ punti, corrispondenti agli infiniti valori di $\omega$, dicesi involuzione del grado $n$.¹

Una semplice punteggiata può considerarsi come un’involuzione di primo grado (7).

Un’involuzione è determinata da due gruppi. Infatti, se le equazioni:

$k_{n}{\overline {oa}}^{n}+k_{n-1}{\overline {oa}}^{n-1}\dots =0,\quad h_{n}{\overline {oa}}^{n}+h_{n-1}{\overline {oa}}^{n-1}\dots =0$

rappresentano i due gruppi dati, ogni altro gruppo dell’involuzione sarà rappresentato dalla:

$k_{n}{\overline {oa}}^{n}+k_{n-1}{\overline {oa}}^{n-1}\dots +\omega \left(h_{n}{\overline {oa}}^{n}+h_{n-1}{\overline {oa}}^{n-1}\dots \right)=0,$

ove $\omega$ sia una quantità arbitraria.

22. Ogni qualvolta due punti $a$ d’uno stesso gruppo coincidano in un solo, diremo che questo è un punto doppio dell’involuzione. Quanti punti doppi ha l’involuzione rappresentata dall’equazione 1)? La condizione che quest’equazione abbia due radici eguali si esprime eguagliando a zero il discriminante della medesima. Questo discriminante è una funzione, del grado $2(n-1)$, de’ coefficienti dell’equazione; dunque, egua-

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1. Jonquières, Généralisation de la théorie de l’involution (Annali di Matematica, tomo 2.°, Roma 1859, pag. 86).