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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
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, del sistema
rispetto al polo
coincidono coi centri armonici, del grado
, del sistema
rispetto al polo
.
Questo teorema, ripetuto successivamente, può essere esteso ai centri armonici di grado qualunque, e allora s’enuncia così:
Se
sono i centri armonici, di grado
, del sistema dato
rispetto al polo
, e se
sono i centri armonici, di grado
, dello stesso sistema dato rispetto ad un altro polo
, i centri armonici, di grado
, del sistema
rispetto al polo
coincidono coi centri armonici, di grado
, del sistema
, rispetto al polo
.
15. Se
e
sono rispettivamente i centri armonici, di primo grado, dei sistemi
ed
, rispetto al polo
, si avrà:
.
Si supponga
coincidente con
: in tal caso le due equazioni precedenti, paragonate fra loro, danno
. Dunque:
Se
è il centro armonico, di primo grado, del sistema di punti
rispetto al polo
, il punto
è anche il centro armonico, di primo grado, del sistema
rispetto allo stesso polo.
16. Fin qui abbiamo tacitamente supposto che i dati punti
fossero distinti, ciascuno dai restanti. Suppongasi ora che
punti
coincidano in un solo, che denoteremo con
. Allora, se nella equazione 5) si assume
in luogo dell’origine arbitraria
, risulta evidentemente:
,
onde l’equazione 5) riesce divisibile per
, cioè
centri armonici del grado
cadono in
, e ciò qualunque sia il polo
. Ne segue inoltre, avuto riguardo al teorema (13), che in
cadono
centri armonici di grado
;
centri armonici di grado
ed un centro armonico di grado
.
17. L’equazione 3) moltiplicata per
e per
diviene:
6)
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![{\displaystyle \dots +(-1)^{r}{\frac {n(n-1)\dots (n-r+1)}{1.2\dots r}}\sum (oa)_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecfc7eac7bd588ae2fd299d57d16c504df7ee2a3) .
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