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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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14. Se $m$ è un centro armonico, del grado $n-1$, del dato sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$, si avrà l’equazione 4) nella quale sia posto $r=n-1$. Vi s’introduca un arbitrario punto $i$ (della retta data) mediante le note identità $oa=oi+ia$, $ma=ia-im$, onde si avrà:

$\sum \left({\frac {oi+ia}{ia-im}}\right)_{1}=0$,

ossia, sviluppando:

5)	${\overline {im}}^{n-1}\left\{n.oi+\sum (ia)_{1}\right\}$ $-{\overline {im}}^{n-2}\left\{(n-1)oi\sum (ia)_{1}+2\sum (ia)_{2}\right\}$ $+{\overline {im}}^{n-3}\left\{(n-2)oi\sum (ia)_{2}+3\sum (ia)_{3}\right\}\dots$ $+(-1)^{n-1}\left\{oi\sum (ia)_{n-1}+n\sum (ia)_{n}\right\}=0$.

Siano $m_{1}\,m_{2}\dots m_{n-1}$ i centri armonici, di grado $n-1$, del dato sistema rispetto al polo $o$, cioè i punti che sodisfanno alla 5); si avrà:

$\sum (im)_{r}={\frac {(n-r)oi\sum (ia)_{r}+(r+1)\sum (ia)_{r+1}}{n.oi+\sum (ia)_{1}}}$.

Ora sia $\mu$ uno de’ centri armonici, del grado $n-2$, del sistema $m_{1}\,m_{2}\dots m_{n-1}$ rispetto ad un punto $o'$ (della retta data); avremo analogamente alla 5):

${\overline {i\mu }}^{n-2}\left\{(n-1)o'i+\sum (im)_{1}\right\}$ $-{\overline {i\mu }}^{n-3}\left\{(n-2)o'i\sum (im)_{1}+2\sum (im)_{2}\right\}\dots$ $+(-1)^{n-2}\left\{o'i\sum (im)_{n-2}+(n-1)\sum (im)_{n-1}\right\}=0$.

In questa equazione posto per $\sum (im)_{r}$ il valore antecedentemente scritto, si ottiene:

$oi.o'i\left\{n(n-1){\overline {i\mu }}^{n-2}-(n-1)(n-2){\overline {i\mu }}^{n-3}\sum (ia)_{1}\right.$ $\left.+(n-2)(n-3){\overline {i\mu }}^{n-4}\sum (ia)_{2}\dots \right\}$ $+(oi+o'i)\left\{(n-1){\overline {i\mu }}^{n-2}\sum (ia)_{1}-2(n-2){\overline {i\mu }}^{n-3}\sum (ia)_{2}\right.$ $\left.+3(n-3){\overline {i\mu }}^{n-4}\sum (ia)_{3}\dots \right\}$ $+\left\{1.2{\overline {i\mu }}^{n-2}\sum (ia)_{2}-2.3{\overline {i\mu }}^{n-3}\sum (ia)_{3}\right.$ $\left.+3.4{\overline {i\mu }}^{n-4}\sum (ia)_{4}\dots \right\}=0$;

il qual risultato, essendo simmetrico rispetto ad $o,\,o'$, significa che:

Se $m_{1}\,m_{2}\dots m_{n-1}$ sono i centri armonici, di grado $n-1$, del sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$, e se $m_{1}'\,m_{2}'\dots m_{n-1}'$ sono i centri armonici, di grado $n-1$, dello stesso sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto ad un altro polo $o'$; i centri armonici, del grado