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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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ossia sviluppando:

3)

${\begin{bmatrix}n\\r\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r}-{\begin{bmatrix}n-1\\r-1\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r-1}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}+$ $+{\begin{bmatrix}n-2\\r-2\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r-2}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}-\dots =0;$

ove il simbolo ${\begin{bmatrix}n\\r\\\end{bmatrix}}$ esprime il numero delle combinazioni di $n$ cose prese ad $r$ ad $r$.

L’equazione 3), del grado $r$ rispetto ad $om$, dà $r$ posizioni pel punto $m$: tali $r$ punti $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ si chiameranno¹ centri armonici, del grado $r$, del dato sistema di punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$.

Quando $r=1$, si ha un solo punto $m$, che è stato considerato da Poncelet sotto il nome di centro delle medie armoniche².

Se inoltre è $n=2$, il punto $m$ diviene il coniugato armonico di $o$ rispetto ai due $a_{1}\,a_{2}$ (4).³

12. Se l’equazione 1) si moltiplica per $oa_{1}.a_{2}\dots oa_{n}$ e si divide per $ma_{1}.ma_{2}\dots ma_{n}$, essa si muta evidentemente in quest’altra:

4)	$\sum \left({\frac {oa}{ma}}\right)_{n-r}=0$,

donde si raccoglie:

Se $m$ è un centro armonico, del grado $r$, del dato sistema di punti rispetto al polo $o$, viceversa $o$ è un centro armonico, del grado $n-r$, del medesimo sistema rispetto al polo $m$.

13. Essendo $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ gli $r$ punti che sodisfanno all’equazione 3), sia $\mu$ il loro centro armonico di primo grado rispetto al polo $o$; avremo l’equazione:

$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{om}}\right)_{1}=0$

analoga alla 2), ossia sviluppando:

${\frac {r}{o\mu }}=\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}$.

Ma, in virtù della 3), è:

$\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}={\frac {r}{n}}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$,

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1. Jonquières, Mémoire sur la théorie des pôles et polaires etc. (Journal de M. Liouville, août 1857, p. 266).
2. Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques (Giornale di Crelle, t. 3, Berlino 1828, p. 229).
3. {Se $n=1$, ossia se il dato sistema riducesi ad un punto unico, con questo coincide il centro armonico di 1.º grado di qualsivoglia polo.}