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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Art. II.

Projettività delle punteggiate e delle stelle.

7. Chiameremo punteggiata la serie de’ punti situati in una stessa retta, e fascio di rette o stella⁴¹ la serie delle rette (situate in un piano) passanti per uno stesso punto (centro della stella)¹. Le punteggiate e le stelle si designeranno col nome comune di forme geometriche. Per elementi di una forma geometrica intendansi i punti o le rette costituenti la punteggiata o la stella che si considera.

Due forme geometriche si diranno proiettive quando fra i loro elementi esista tale relazione, che a ciascun elemento della prima corrisponda un solo e determinato elemento della seconda ed a ciascun elemento di questa corrisponda un solo e determinato elemento della prima ².⁴²

Per esempio: se una stella vien segata da una trasversale arbitraria, i punti d’intersezione formano una punteggiata projettiva alla stella.

Dalla precedente definizione segue evidentemente che due forme projettive ad una terza sono proiettive fra loro.

8. Consideriamo due rette punteggiate. Se $i$ è un punto fisso della prima retta, un punto qualunque $m$ della medesima sarà individuato dal segmento $im$; ed analogamente, un punto qualunque $m'$ della seconda retta sarà individuato dal segmento $j'm'$, ove $j'$ sia un punto fisso della stessa retta. Se le due punteggiate sono projettive e se $m,\,m'$ sono punti corrispondenti, fra i segmenti $im,\,j'm'$ avrà luogo una relazione, la quale, in virtù della definizione della projettività, non può essere che della forma seguente:

1)	$\chi .im.j'm'+\lambda .im+\mu .j'm'+\nu =0$,

ove $\chi ,\,\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ sono coefficienti costanti. Quest’equazione può essere semplificata, determinando convenientemente le origini $i,\,j'$. Sia $i$ quel punto della prima punteggiata, il cui corrispondente è all’infinito nella seconda retta: ad $im=0$ dovrà corrispondere $j'm'=\infty$, quindi $\mu =0$. Così se supponiamo che $j'$ sia quel punto della seconda punteggiata, a cui corrisponde il punto all’infinito della prima, sarà $\lambda =0$. Perciò l’equa-

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1. Bellavitis, Geometria descrittiva, Padova 1851, p. 75.
2. Chasles, Principe de correspondance entre deux objets variables etc. (Comptes rendus de l’Acad. de France, 24 décembre 1855). — Battaglini, Sulla dipendenza scambievole delle figure (Memorie della R. Accademia delle scienze, vol. 2, Napoli 1857, p. XXI e p. 188).