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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

tisi a due a due in sei punti $a,\,b,\,c$, $a',\,b',\,c'$. Le tre diagonali $aa',\,bb',\,cc'$ formano un triangolo $\alpha \beta \gamma$. Sia $x$ il punto coniugato armonico di $\beta$ rispetto a $c,\,c'$ e sia $y$ il coniugato armonico di $\gamma$ rispetto a $b,\,b'$. La retta coniugata armonica di $aa'$ rispetto alle $acb',\,ac'b$ ed anche la retta coniugata armonica di $a'a$ rispetto alle $a'bc,\,a'b'c'$ dovranno passare per $x$ e per $y$. Dunque questi punti coincidono insieme con $\alpha$, punto comune alle $bb',\,cc'.$ Donde segue che ciascuna diagonale è divisa armonicamente dalle altre due.

Di qui una semplice regola per costruire uno de’ quattro punti armonici $\alpha ,\,\gamma ,b,b'$, quando siano dati gli altri tre.

Una somigliante proprietà appartiene al quadrangolo completo (sistema di quattro punti situati a due a due in sei rette) e dà luogo alla costruzione di un fascio armonico di quattro rette.

6. Quattro punti $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,m_{4}$ in linea retta, riferiti ad un punto $o$ della retta medesima, siano rappresentati dall’equazione di quarto grado:

2)	$\mathrm {A} .{\overline {om}}^{4}+4\mathrm {B} .{\overline {om}}^{3}+6\mathrm {C} .{\overline {om}}^{2}+4\mathrm {D} .{\overline {om}}+\mathrm {E} =0$,

cioè siano $om_{1},\,om_{2},\,om_{3},\,om_{4}$ le radici dell’equazione medesima.

Se il rapporto anarmonico $(m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})$ è eguale a $-1$, si avrà:

$m_{1}m_{3}.m_{4}m_{2}+m_{2}m_{3}.m_{4}m_{1}=0$,

ovvero, sostituendo ai segmenti $m_{1}m_{3},\dots$ le differenze $om_{3}-om_{1},\dots$ ed avendo riguardo alle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un’equazione:

$\mathrm {A} (om_{1}.om_{2}+om_{3}.om_{4})-2\mathrm {C} =0$.

Analogamente: le equazioni $(m_{1}m_{3}m_{4}m_{2})=-1,\,(m_{1}m_{4}m_{2}m_{3})=-1$ danno:

$\mathrm {A} (om_{1}.om_{3}+om_{4}.om_{2})-2\mathrm {C} =0$,

$\mathrm {A} (om_{1}.om_{4}+om_{2}.om_{3})-2\mathrm {C} =0$.

Moltiplicando fra loro queste tre equazioni si otterrà la condizione necessaria e sufficiente, affinchè uno de’ tre sistemi $(m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})$, $(m_{1}m_{3}m_{4}m_{2})$, $(m_{1}m_{4}m_{2}m_{3})$ sia armonico. Il risultato è simmetrico rispetto ai segmenti $om_{1},\,om_{2},\,om_{3},\,om_{4}$, epperò si potrà esprimere coi soli coefficienti dell’equazione 2). Si ottiene così:

$\mathrm {ACE} +2\mathrm {BCD} -\mathrm {AD} ^{2}-\mathrm {EB} ^{2}-\mathrm {C} ^{3}=0$

come condizione perchè i punti rappresentati dalla data equazione 2), presi in alcuno degli ordini possibili, formino un sistema armonico¹.

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1. Salmon, Lessons introductory to the modern higher algebra, Dublin 1859, p. 100.