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INTRODUZIONE AD UNA TEORIA GEOMETRICA DELLE CURVE PIANE.

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Ossia, fra essi, sei soli sono essenzialmente diversi: tali sono i seguenti:

1)	$(abcd),\,(acdb),\,(adbc)$, $\,(abdc),\,(acbd),\,(adcb)$.

Si ha poi:

$\left({\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}\right)\left({\frac {ad}{db}}:{\frac {ac}{cb}}\right)=1$,

ossia:

$(abcd)(abdc)=1$,

ed analogamente:

$(acdb)(acbd)=1$,

$(adbc)(adcb)=1$,

ossia i sei rapporti anarmonici 1) sono a due a due reciproci. Chiamati fondamentali i tre rapporti

$(abcd),\,(acdb),\,(adbc)$,

gli altri tre sono i valori reciproci de’ precedenti.

Fra quattro punti $a,\,b,\,c,\,d$ in linea retta ha luogo, com’è noto, la relazione:

$bc.ad+ca.bd+ab.cd=0$,

dalla quale si ricava:

${\frac {ca}{bc}}.{\frac {bd}{ad}}+{\frac {ab}{bc}}.{\frac {cd}{ad}}=-1$

ossia:

$(abcd)+(acbd)=1$,

e così pure:

$(acdb)+(adcb)=1$,

$(adbc)+(abdc)=1$;

cioè i sei rapporti anarmonici 1), presi a due a due, danno una somma eguale all’unità (rapporti anarmonici complementari).

Dalle precedenti relazioni segue che, dato uno de’ sei rapporti anarmonici 1), gli altri cinque sono determinati. Infatti, posto $(acbd)=\lambda$, il rapporto reciproco è $(abdc)={\frac {1}{\lambda }}$. I rapporti complementari di questi due sono $(acbd)=1-\lambda$, $(adbc)={\frac {\lambda -1}{\lambda }}$. Ed i rapporti reciproci degli ultimi due sono $(acbd)={\frac {1}{1-\lambda }}$, $(adcb)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}$.