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intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. 309

di Plücker, avrà sei cuspidi, nessun flesso, e tre tangenti doppie. Ossia, la curva cuspidale H della sviluppabile W è del sest’ordine; questa sviluppabile non ha generatrici d’inflessione; ed un piano qualunque contiene tre rette, ciascuna delle quali è l’intersezione di due piani doppiamente tangenti alla curva K1.

Se la superficie W vien segata da un suo piano tangente, la sezione è una linea di quart’ordine e terza classe, dotata di una tangente doppia. Questa retta è dunque l’intersezione di tre piani tangenti. Cioè, vi sono infinite rette, per ciascuna delle quali passano tre piani tangenti di W, cioè tre piani doppiamente tangenti a K. Ciò basta per conchiudere (§ 3) che la sviluppabile di quarta classe W è di seconda specie, cioè che la sviluppabile W è circoscritta ad un unico iperboloide, avente per generatrici di un medesimo sistema le rette, per le quali passano tre piani doppiamente tangenti alla curva K.

Da ciò consegue che le proprietà della sviluppabile W si possono, in virtù del principio di dualità, concludere immediatamente da quelle della curva K.

Per esempio: come la sviluppabile V, osculatrice della curva K, è circoscritta ad una superficie di secondo grado, per ogni generatrice della quale passano tre piani tangenti di quella, così la curva H, cuspidale della superficie W, sarà situata sopra una superficie di second’ordine, ogni generatrice della quale (d’entrambi i sistemi) incontrerà la curva in tre punti.

La sviluppabile V ha quattro piani tangenti stazionari; dunque la curva H ha quattro punti stazionari.

Il piano, che sega la curva K in un suo punto qualunque m ed in altri tre punti, i cui piani osculatori concorrano in m, inviluppa un cono di secondo grado (§ 19); dunque:

Ogni piano doppiamente tangente alla curva K, epperò osculatore alla curva H, sega quest’ultima in tre punti. I piani osculatori ad H, in questi punti, concorrono in un punto del primo piano. Il luogo di quest’ultimo punto è una curva di secondo grado.

Ecc. ecc.


§ 21.

In ogni punto della curva D (§ 13) concorrono due rette tangenti della curva K, epperò anche due piani che ivi toccano la sviluppabile V. La tangente in quel punto, alla curva D, deve trovarsi in entrambi i piani, epperò è la loro intersezione; dunque:


  1. La sviluppabile W non può ammettere un piano tangente doppio, cioè un piano che la tocchi lungo due generatrici distinte: infatti, un tal piano toccherebbe la curva K in tre punti distinti, il che è impossibile.