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| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 301 |
quart’ordine, avente un cuspide in g’. Questa curva è della quinta classe, perchè per ogni punto d’un piano osculatore della curva K passano altri cinque piani osculatori.
Facendo m = 4, m’ = 5, s = 1, nelle formole di Plücker, ne deduciamo d = 2, s’ = 4, d’ = 2.
Dunque, il piano P sega la curva doppia D in due soli punti fuori della retta G; e siccome la curva D è del sest’ordine, così ne segue che quel piano tocca questa curva ne’ due punti, in cui è incontrata dalla retta G; cioè:
Ogni piano osculatore alla curva K tocca in due punti distinti la curva doppia D.
Ossia:
La sviluppabile osculatrice della curva K è doppiamente tangente alla curva D.
Dall’esser poi d’ = 2, segue che in ogni piano osculatore della curva K vi sono due rette, ciascuna delle quali è l’intersezione di due altri piani osculatori. Queste rette sono generatrici della superficie di second’ordine S, inscritta nella sviluppabile V (§ 12).
§ 14.
Finalmente, suppongasi che il piano segante P sia uno de’ quattro piani stazionari. Siccome lungo la relativa generatrice G, il piano è osculatore alla superficie V, così la rimanente sezione è una curva del terz’ordine; e questa è della quarta classe, perchè un piano stazionario rappresenta due piani osculatori coincidenti. La curva medesima non può aver regressi, giacchè i quattro punti d’incontro della curva K col piano stazionario sono tutti riuniti in un solo. Vi saranno dunque tre flessi ed un punto doppio.
È notissimo che i tre flessi d’una curva piana di terz’ordine e quarta classe sono in linea retta. Nel nostro caso, i tre flessi sono i punti in cui il piano stazionario, che si considera, sega le generatrici d’inflessione poste negli altri tre piani stazionari. Dunque, le generatrici d’inflessione sono incontrate tutte e quattro da quattro rette, rispettivamente situate nei quattro piani stazionari. Perciò:
Le quattro tangenti della curva gobba di quart’ordine e seconda specie, situate ne’ suoi piani osculatori stazionari, giacciono sopra uno stesso iperboloide.
Nel caso che consideriamo, la curva d’intersezione del piano P non ha tangenti doppie. Tuttavia questo piano, essendo tangente alla superficie S (§ 12), contiene due generatrici della medesima. Ma, siccome de’ tre piani osculatori passanti per ciascuna di esse, due coincidono nel piano stazionario, così esse non sono tangenti doppie, ma tangenti ordinarie della curva d’intersezione.
Il punto g, ove la curva K ha un contatto del terz’ordine col piano stazionario P, è anche un punto della curva doppia D. Ed invero: nel punto g tre tangenti suc-
