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intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria.

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ordinatamente in luogo di:

x,     y,     z;

la qual condizione da quest’unico sistema di valori per v e w:

$v={\frac {a}{b}}{\frac {(c-b)}{(c-a)}}$,     $w={\frac {c-b}{c-a}}$.

I due punti a cui corrispondono questi valori di t sono omologhi l’uno dell’altro, e sono quei medesimi punti (3) e (4) che già si sono incontrati nel teorema del paragrafo secondo. Concludiamo quindi il teorema:

Su di una conica circoscritta al triangolo formato dalle rette doppie di un sistema di due figure omografiche esistono sempre due punti (e due soli) tali che due rette rotando intorno ad essi ed intersecandosi sulla conica si mantengano costantemente omologhe nelle due figure. Tali punti sono gli stessi A e B di cui si fa cenno nel teorema del paragrafo secondo.

5.

Riprese le denominazioni del paragrafo terzo, s’imaginino due tangenti alla conica (6) in due punti fissi (t = v), (t = w), ed una tangente nel punto variabile (t). Questa tangente incontra quelle rispettivamente ne’ punti determinati dalle equazioni:

x : y : z = ${\frac {(t+1)(v+1)}{4}}{\frac {1}{l}}$ : ${\frac {(t-1)(v-1)}{4}}{\frac {1}{m}}$ : ${\frac {1}{n}}$,
x : y : z = ${\frac {(t+1)(w+1)}{4}}{\frac {1}{l}}$ : ${\frac {(t-1)(w-1)}{4}}{\frac {1}{m}}$ : ${\frac {1}{n}}$.

Affinchè questi punti siano omologhi, è necessario e sufficiente che si abbia:

a : w + 1 = c : v + 1,     b : w — 1 = c : v — 1

da cui si ha l’unico sistema di valori per v, w:

$v={\frac {2c-(a+b)}{a-b}}$,     $w={\frac {2ab-c(a+b)}{c(b-a)}};$

i quali valori di t corrispondono alle due tangenti omologhe (8) e (10) della conica che ci occupa.

Abbiamo così il teorema:

Date due figure omografiche in un piano ed una conica inscritta nel triangolo formato dalle rette doppie, vi sono sempre due rette tangenti alla conica (e due sole) tali che una

Cremona, tomo I.

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