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| 294 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
in due punti, si fa girare un piano che seghi la curva in altri due punti, la retta che unisce questi due punti ha per luogo una superficie di terzo grado, la cui direttrice doppia è la retta data.
Le due generatrici dell’iperboloide I, passanti per o, o’ ed appoggiate alla curva K in due altri punti formano, insieme con questa curva, la completa intersezione dell’iperboloide colla superficie gobba di terzo grado, di cui si tratta.
Osserviamo che le coppie di punti, in cui la curva K è incontrata dalle singole generatrici di questa superficie di terzo grado, ossia dai piani condotti per la data retta R, sono in involuzione; vogliam dire, i piani determinati da quelle coppie di punti e da una retta fissa appoggiata alla curva K in tre punti, sono in involuzione.
Reciprocamente: se sulla curva K sono date più coppie di punti in involuzione, le rette congiungenti i punti coniugati sono incontrate tutte da una medesima retta, appoggiata alla curva gobba in due punti, epperò formano una superficie di terzo grado. Siccome l’involuzione è determinata da due coppie di punti coniugati m, m’ ed n, n’, così basterà dimostrare che le rette mm’, nn’ sono incontrate da una medesima retta appoggiata alla curva gobba in due punti. Se intorno alla retta mm’ si fa girare un piano che seghi di nuovo la curva K in due punti, questi generano un’involuzione. Così pure, facendo girare intorno ad nn’ un piano, si otterrà una seconda involuzione. Le due involuzioni hanno, com’è noto, una coppia comune di punti coniugati (reali o immaginari), epperò la retta (reale) che li unisce è appoggiata ad entrambe le mm’, nn’; c. d. d.
§ 10.
Sia dato l’iperboloide I e su di esso la curva gobba K di quart’ordine e seconda specie. Una retta A (generatrice dell’iperboloide) appoggiata in tre punti a questa curva, si assuma come direttrice doppia di una superficie gobba di terzo grado, del resto arbitraria. Essa segherà l’iperboloide, lungo un’altra curva gobba di quart’ordine e seconda specie, ed incontrerà la curva data in dodici punti; ma tre di essi sono nella retta doppia A, i quali contano come sei intersezioni; dunque:
Quando due curve gobbe di quart’ordine e seconda specie, tracciate sullo stesso iperboloide, incontrano, ciascuna in tre punti, una stessa generatrice di esso, le due curve si segano in sei punti.
Ossia:
Due superficie gobbe di terzo grado aventi la stessa retta doppia ed un iperboloide passante per questa retta hanno, all’infuori di essa, sei punti comuni.
