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| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 293 |
Ogni punto comune alla curva K e ad una delle direttrici rettilinee diminuisce di un’unità il grado della superficie. Per es., se entrambe le rette R, R’ incontrano K in due punti, la superficie è del quarto grado e per essa le rette date sono doppie.
Invece, se R incontra K in tre punti, mentre R’ non abbia con questa curva che due punti comuni, la superficie è, come si è già trovato altrimenti (§ 5), del terz’ordine R è la retta doppia, ed R’ è la seconda direttrice.
Se R ed R’ sono entrambe appoggiate a K in tre punti, si ottiene una superficie di secondo grado, cioè quell’unico iperboloide che passa per la data curva gobba di quart’ordine e seconda specie.
§ 9.
Cerchiamo di quale grado sia la superficie generata dal movimento di una retta, che debba incontrar due volte la curva gobba K ed una volta una data retta R. Da ogni punto di questa retta partono tre rette, che vanno ad incontrar due volte la curva gobba1, cioè tre generatrici della superficie di cui si tratta. Dunque, la retta R sarà tripla su questa superficie. Ogni piano menato per R incontra la curva gobba in quattro punti che uniti a due a due danno sei generatrici. La sezione fatta da quel piano, nella superficie, consta di queste sei generatrici e della retta tripla R; dunque, la superficie è del nono ordine. Per essa, la curva K è tripla, perchè il piano condotto per un punto qualunque m di K e per R incontra la curva in altri tre punti m1, m2, m3, onde da m partono tre generatrici m (m1, m2, m3) della superficie. Questa ha inoltre una curva doppia del terz’ordine, che è il luogo dei punti in cui si segano le coppie di lati opposti del quadrangolo complete mm1m2m3.
Se la retta R incontra la curva K in un punto o, la superficie di nono ordine si risolve nel cono di terz’ordine che ha il vertice in o e passa per K (§ 17), ed in una superficie di sesto grado, per la quale la curva K è doppia e la retta R è tripla.
Se R incontra K in due punti o, o’ la superficie di nono ordine si decompone ne’ due coni prospettivi alla curva gobba, i cui vertici sono o, o’, ed in una superficie di terzo grado per la quale R è la retta doppia.
Finalmente, se R e appoggiata alla curva K in tre punti, la superficie di nono ordine consta de’ tre coni aventi i vertici in quei punti e passanti per la curva gobba.
Nel caso che la retta R sia appoggiata in due punti o, o’ alla curva K, il risultato può enunciarsi così:
Se intorno ad una retta appoggiata alla curva gobba di quart’ordine e seconda specie
