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| 292 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
Se inoltre α’ coincide con a’, la superficie è del terz’ordine colla retta doppia R. In questo caso, la superficie non ha altra direttrice rettilinea, distinta da R. In ogni punto μ di R, la superficie è toccata da due piani; l’uno, variabile, è determinato da R e dalla generatrice μm; l’altro, costante, è il piano che passa per R e tocca in a’’ la curva gobba K1.
Se anche α’’ coincide con a’’, abbiamo una superficie del second’ordine, cioè l’iperboloide I passante per la curva K.
È ovvio che, eccettuato il caso nel quale R è una retta quadrupla, la superficie di quint’ordine ha, oltre R, una linea doppia, la quale è del sesto o del terz’ordine o una retta, secondo che R sia semplice, doppia o tripla sulla superficie37. Tale linea doppia è il luogo de’ punti, in cui s’incontrano a due a due le generatrici che si ottengono segando la superficie con un piano mobile intorno ad R.
Per tal guisa, un solo e semplice problema, ci ha condotti a varie superficie gobbe di quinto, quarto e terz’ordine, passanti per la curva gobba di quart’ordine e seconda specie.
§ 8.
Data la curva gobba K e date due rette R, R’, quale è il grado della superficie gobba, luogo di una retta che si muova appoggiandosi alle tre direttrici K, R, R’? Assunta una retta arbitraria L, cerchiamo quante generatrici della richiesta superficie siano incontrate da L, ossia quante rette vi abbiano che incontrino le quattro linee K, R, R’, L. Le rette appoggiate alle tre linee R, R’, L formano un iperboloide, il quale, se le date rette R, R’ non hanno punti comuni colla curva gobba K, è da questa incontrato in otto punti. Dunque, la richiesta superficie è dell’ottavo grado. Per essa, la curva K è semplice, perchè da ogni punto di questa curva parte una sola retta che incontri R ed R’. Ma queste due direttrici rettilinee sono quadruple sulla superficie dell’ottavo grado, perchè il piano condotto, a cagion d’esempio, per un punto di R e per la retta R’ sega la curva gobba in quattro punti.
- ↑ In generale, una superficie gobba del terzo grado può risguardarsi, come il luogo delle rette che uniscono i punti omologhi di due semplici serie projettive, l’una di punti d’una retta R, l’altra di punti d’una conica C. Se R e C non hanno alcun punto comune, la superficie ha un’altra direttrice (doppia), che è una retta appoggiata in un punto alla conica (vedi la mia memoria Sur quelques propriétés etc. nel tomo LVIII del giornale matematico di Berlino [Queste Opere, n. 24]. Ma se R e C hanno un punto comune, le due direttrici rettilinee coincidono in R, che è in tal caso la retta doppia. Veggasi, a questo proposito, la nota Sur les surfaces gauches du troisième ordre, che uscirà fra breve nello stesso giornale succitato.
