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| 288 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
Infatti, il secondo ed il terzo fascio generano un iperboloide, mentre il primo ed il secondo (ovvero il primo ed il terzo) generano una superficie gobba di terzo grado, avente per retta doppia una generatrice dell’iperboloide.
Reciprocamente: ogni curva gobba di quart’ordine e seconda specie ammette tale modo di generazione.
§ 6.
Suppongo ora che l’iperboloide I non sia dato a priori, e si domandi la curva gobba di quart’ordine e seconda specie che passi per sette punti a, b, c, d, e, f, g dati nello spazio e seghi tre volte una data retta A passante per g. Se si comincerà dal costruire l’iperboloide, che passa per la retta A e pe’ sei punti a, b ... f, il problema sarà ridotto a quello trattato precedentemente. Vediamo adunque, come si costruisca l’iperboloide I determinato da tali condizioni.
Pei cinque punti a, b... e si può far passare una cubica gobba, che incontri due volte la retta A1. A tal uopo, si costituiscano i due fasci omografici di piani
A (c, d, e...), ab (c, d, e...),
i quali generano un iperboloide passante per le rette A, ab e pei punti c, d, e; questa superficie, avendo sette punti comuni colla cubica richiesta, passa per essa.
Forminsi poi i due fasci omografici di piani:
A (b, d, e...), ac (b, d, e...),
i quali danno luogo ad un secondo iperboloide che, analogamente al primo, passa per la cubica gobba di cui si tratta. Questa curva è dunque l’intersezione de’ due iperboloidi che hanno in comune la retta A, ossia essa è il luogo de’ punti comuni a tre piani corrispondenti ne’ tre fasci omografici:
A (a, b, c, d, e...), ab (a, b, c, d, e...), ac (a, b, c, d, e...).
Qui si noti che ab (a) esprime il piano passante per ab e toccante la cubica gobba in a: piano, che si determina come corrispondente ad A (a). Così dicasi di ab (b), ac (a), ecc.
Notiamo pure, di passaggio, che i due punti (reali o immaginari), in cui la cubica gobba incontra la retta A, si costruiscono assai facilmente, essendo essi i punti
