 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 287 |
più semplice, benchè dello stesso ordine. Ed in vero, assumiamo la retta A (cioè una qualunque delle rette iperboloidiche, che la curva dee segare tre volte) e la retta C (cioè la retta che unisce due de’ sette punti dati), come assi di due fasci proiettivi di piani, il primo doppio involutorio, il secondo semplice. Cioè, il primo fascio sia formato di coppie di piani in involuzione; ed i piani del secondo fascio corrispondano, ad uno ad uno, anarmonicamente alle coppie di piani del primo. Le cinque paia d’elementi omologhi (ciascun paio essendo costituito da un piano del secondo fascio e da uno de’ due corrispondenti piani del primo), necessarie per stabilire tale proiettività o corrispondenza anarmonica, si conducano per gli altri cinque punti dati della curva. Le rette intersezioni de’ piani corrispondenti ne’ due fasci formano una superficie gobba del terzo grado, per la quale la retta A è la direttrice doppia e C è la seconda direttrice1.
Questa superficie passa pei sette punti dati della curva richiesta ed inoltre pei tre punti, in cui questa incontra la retta A: dieci punti in tutto. Ma ciascuno degli ultimi tre punti è doppio sulla superficie di terzo grado, epperò dee contare per due intersezioni colla curva. I dieci punti equivalgono così a tredici intersezioni: dunque, la curva giace per intero sulla superficie anzidetta. Dunque:
La curva gobba di quart’ordine e seconda specie si può sempre considerare come l’intersezione d’un iperboloide con una superficie gobba di terzo grado, che abbia per direttrice doppia una retta appoggiata alla curva in tre punti2.
Ossia:
Per la curva gobba di quart’ordine e seconda specie, per una retta che la incontri tre volte, e per un’altra retta appoggiata alla curva in due punti, si può far passare una superficie gobba di terzo grado.
Se le due rette s’incontrano, la qual cosa non può avvenire che sulla curva (senza di che, esse determinerebbero un piano segante la curva in cinque punti), la superficie di terz’ordine diviene un cono (§ 17).
Ed ancora:
Il luogo delle intersezioni de’ piani omologhi in tre fasci projettivi di piani, il primo semplice, il secondo doppio involutorio, il terzo omografico al secondo, e una curva gobba di quart’ordine e seconda specie, che si appoggia in due punti sull’asse del primo fascio ed in tre punti sull’asse di ciascuno degli altri due fasci.
- ↑ Vedi la mia memoria Sulle superficie gobbe del terz’ordine (Atti del R. Istituto Lombardo, Milano 1861). [Queste Opere, n. 27].
- ↑ Analogamente, la sviluppabile di quarta classe e seconda specie può risguardarsi come l’inviluppo de’ piani tangenti comuni ad un iperboloide e ad una superficie gobba di terzo grado, che abbia per direttrice non doppia una generatrice dell’iperboloide, per la quale debbano passare tre piani tangenti della sviluppabile.
