 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| 286 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
doppia curvatura K, che è la curva gobba di quart’ordine e seconda specie, nella sua più generale definizione.
La curva K è dunque il luogo delle intersezioni degli elementi omologhi de’ tre fasci proiettivi:
(ABCD)(p, q, r...), A(p, q, r...), A’(p, q, r...).
La retta C incontri l’iperboloide I ne’ punti c, c’: le rette B, D, essendo appoggiate alla generatrice A, incontreranno la stessa superficie in due punti b, d: uno per ciascuna. Quindi, se si suppone dato l’iperboloide I, la curva K può risguardarsi come individuata da sette punti di esso: b, c, c’, d, p, q, r. Ed è manifesto che, quando non sia dato a priori il sistema delle rette iperboloidiche che la curva dee segare tre volte, per sette punti qualisivogliano di un iperboloide, si possono in generale descrivere, su di esso, due curve gobbe di quart’ordine e seconda specie.
Osservo ancora che una curva siffatta, essendo del quart’ordine, incontra una superficie di terz’ordine, al più in dodici punti; dunque, se tredici punti della nostra curva appartengono ad una superficie del terz’ordine, la curva giace per intero su questa superficie.
Ciò premesso, ecco come può essere generata la curva di quart’ordine e seconda specie, giacente sopra un dato iperboloide I e passante per sette punti dati di esso: b, c, c’, d, p, q, r. Fra le rette (generatrici) iperboloidiche che la curva dee segar tre volte, scelgansene ad arbitrio due: A, A’. Sia C la retta che unisce c, c’ (due qualunque de’ punti dati); e siano B, D le rette appoggiate su A e C e passanti rispettivamente per b, d (altri due de’ punti dati). Il quadrilatero storto ABCD e la retta A’ si assumano come basi di due fasci proiettivi d’iperboloidi e di piani, determinando tre coppie di superficie corrispondenti mediante i punti p, q, r. Questi due fasci genereranno una superficie di terz’ordine che passerà per la curva richiesta, giacchè contiene tredici de’ suoi punti: i sette dati ed i sei appartenenti alle rette A, A’. La curva richiesta sara dunque l’intersezione di questa superficie del terz’ordine coll’iperboloide, astrazion fatta dalle rette A, A’ comuni alle due superficie; ossia, essà sara il luogo de’ punti in cui si segano, a tre a tre, le superficie corrispondenti ne’ tre fasci proiettivi:
(ABCD)(p, q, r...), A(p, q, r...), A’(p, q, r...).
§ 5.
Ma nella definizione e nella generazione della curva K di quart’ordine e seconda specie, ad una superficie generale di terz’ordine se ne può sostituire un’altra assai
