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| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 285 |
che vi sono infinite rette dotate della stessa proprietà: che queste formano un iperboloide; che la sviluppabile è di seconda specie; e che i piani tangenti di questa determinano su due qualunque di quelle rette due divisioni omografiche.
La sviluppabile di quarta classe e seconda specie si è presentata, la prima volta, al sig. Cayley, nella sua Note sur les hyperdéterminants1, e poi fu considerata anche dal sig. Salmon2.
§ 4.
Data una qualsivoglia superficie del terz’ordine, fra le ventisette rette che in essa generalmente esistono3, se ne scelgano quattro, A, B, C, D, formanti un quadrilatero storto, tali cioè, che ciascuna d’esse sia incontrata dalla susseguente e l’ultima dalla prima. Il piano delle due rette AB segherà la superficie in una terza retta E; così i piani BC, CD, DA taglieranno la superficie medesima in altrettante rette F, G, H. Le rette EG sono in un piano, le FH in un secondo piano; e questi due piani si intersecano in una retta A’ posta nella superficie. È evidente che la data superficie può essere considerata, come il luogo delle intersezioni degli elementi corrispondenti di due fasci proiettivi: l’uno di iperboloidi passanti pel quadrilatero ABCD, l’altro di piani condotti per la retta A’ e corrispondenti anarmonicamente agli iperboloidi suddetti. Cioè la superficie del terz’ordine si può risguardare come data mediante quelle cinque rette A, B, C, D, A’, e tre punti p, q, r i quali serviranno a individuare tre coppie di elementi omologhi nei due fasci. E questi fasci, adottando la felice notazione del sig. Jonquières4, si potranno indicare così:
(ABCD)(p, q, r...), A’(p, q, r...).
Ora immaginiamo l’iperboloide I passante per le due rette A, A’ e pei tre punti p, q, r. Esso sarà generabile mediante i due fasci omografici di piani:
A(p, q, r...), A’(p, q, r...).
Le due superficie, quella di terz’ordine e l’iperboloide, avendo in comune le due rette A, A’ (non situate in uno stesso piano), s’intersecheranno lungo una linea a
