Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/297


intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. 283

Infatti, se per K passasse, oltre I, un’altra superficie S di secondo grado, ogni generatrice di I (del primo sistema) avrebbe tre punti comuni con S, epperò giacerebbe per intero su questa superficie; il che è impossibile.

Così è dimostrata l’esistenza di una curva gobba di quart’ordine, che non è l’intersezione di due superficie di secondo grado. Noi la denomineremo curva gobba di quart’ordine e seconda specie, per distinguerla dalla curva gobba di quart’ordine e prima specie, cioè dalla curva per la quale passano infinite superficie di secondo grado.

Lo studio della nuova curva è assai importante, principalmente perchè essa è, dopo la cubica gobba, la più semplice fra tutte le linee geometriche a doppia curvatura. La ragione della sua maggior semplicità, in confronto dell’altra curva dello stesso ordine, sta in ciò, che questa sega in due punti tutte le generatrici degli iperboloidi passanti per essa, e non è da alcuna retta incontrata in tre punti; mentre la curva di seconda specie ha i suoi punti distribuiti a tre a tre sulle generatrici del primo sistema, e ad uno ad uno sulle generatrici dell’altro sistema dell’unico iperboloide passante per la curva. Onde segue che la curva di seconda specie si può costruire linearmente per punti; infatti, facendo girare un piano intorno ad una generatrice fissa del primo sistema, i punti della curva si ottengono, uno per volta. Il che evidentemente non può aver luogo per la curva di prima specie, almeno finchè questa non sia dotata di un punto doppio o di un cuspide1.

Questa proprietà della curva di seconda specie può essere formulata in altro modo, che conduce a rimarchevoli conseguenze. Sia A una generatrice fissa (del primo sistema) dell’iperboloide I, su cui giace la curva, e siano a, a1, a2 i punti, in cui quella generatrice sega la curva. Un piano qualunque, condotto per la retta A, incontra la curva gobba in un unico punto m, oltre i detti a, a1, a2. E reciprocamente, ogni punto m della curva determina un piano per A. Se m viene a coincidere con uno de’ punti a, a1, a2, per es. con a, il piano corrispondente sarà quello che tocca l’iperboloide I in a. Si assuma ora una retta arbitraria L ed in essa si formi una serie di punti proiettiva al fascio di piani condotti per A; come tale può assumersi, a cagion d’esempio, la serie de’ punti in cui L sega i piani suddetti. Sia μ il punto di L che corrisponde al piano Am; diremo che il punto μ della retta L corrisponde al punto m della curva gobba.

Per tal modo, ad ogni punto della curva gobba corrisponde un punto nella retta L,


  1. La curva gobba di quart’ordine e seconda specie non può aver punti multipli, nè regressi. Perchè, se potesse averne uno, un piano condotto per tale punto e per una retta appoggiata alla curva in altri tre punti avrebbe in comune con questa più di quattro punti; il che, per una curva del quarto ordine, è assurdo.