 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 281 |
Le formole di Plücker sono:
| m’ = m(m — 1) — 2d — 3s m = m’(m’ — 1) — 2d’ — 3s’ s’ = 3m(m — 2) — 6d — 8s s = 3m’(m’ — 2) — 6d’ — 8s’ s — s’ = 3(m — m’) 2(d — d’) = m(m — m’)(m + m’ — 9), |
le quali equivalgono a tre sole indipendenti.
§ 1.
Due superficie di secondo grado si segano, in generale, lungo una linea a doppia curvatura C del quart’ordine, per la quale passano infinite altre superficie di secondo grado. Una qualunque di queste è individuata, se debba contenere, oltre la curva C, un punto dato fuori della curva. Se questo punto si prende sulla linea retta che unisce due punti qualsivogliano della curva C, quella retta apparterrà per intero alla superficie che si vuol determinare. Questa superficie sarà dunque rigata, ossia, in generale, un iperboloide ad una falda.
Dunque, per la curva C passano infiniti iperboloidi ad una falda.
Considero la curva C, come l’intersezione di un iperboloide rigato e di un’altra superficie di secondo grado. Qualunque generatrice rettilinea dell’iperboloide incontra l’altra superficie in due punti, i quali, essendo comuni alle due superficie, appartengono alla curva C. Dunque, una generatrice qualsivoglia di un iperboloide passante per la curva C incontra questa, al più, in due punti.
La curva C non può avere più di due punti sopra una stessa retta; giacchè una retta, che incontrasse C in tre punti, dovrebbe giacere per intero su tutte le superficie che passano per C, cioè queste superficie avrebbero in comune una curva di quart’ordine ed inoltre una retta; il che è assurdo.
Per la curva C, intersezione di due superficie del secondo grado, si può far passare, in infiniti modi, una superficie del terz’ordine, A tal uopo, si assuma una retta arbitraria R, come asse d’un fascio di piani (P) proiettivo al fascio delle superficie di secondo grado (S) passanti per la curva C. Quale è il luogo delle coniche, intersezioni de’ piani P colle corrispondenti superficie S? Una retta qualsivoglia L incontra le superficie S in una serie di coppie di punti in involuzione, ed i piani P in una
