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| sulle superficie gobbe del terz’ordine. | 277 |
Quando i punti cuspidali sono reali, si può, mediante un’ovvia trasformazione di coordinate, ridurre l’equazione della superficie alla forma semplicissima:
x2z — w2y = 0,
ove x = 0, w = 0 sono i piani tangenti ne’ punti cuspidali, ed y = 0, z = 0 sono i piani tangenti lungo le generatrici appoggiate alla retta doppia ne’ punti cuspidali.
L’Hessiano della forma x2z — w2y è, astrazione fatta da un coefficiente numerico, x2w2; da cui concludiamo che, onde una funzione omogenea cubica con quattro variabili, eguagliata a zero, rappresenti una superficie gobba, è necessario (sufficiente?) che il suo Hessiano sia il quadrato perfetto di una forma quadratica, decomponibile in due fattori lineari. Secondo che i fattori lineari di questa forma quadratica siano reali o no, la superficie ha due punti cuspidali reali, o non ne ha. E gli stessi fattori lineari, ove sian reali, eguagliati separatamente a zero, rappresentano i piani tangenti alla superficie nei punti cuspidali.
Il signor Steiner, nella sua Memoria già citata sulle superficie del terz’ordine ha enunciato una serie di mirabili teoremi connessi con una certa superficie del quart’ordine, ch’ei chiama superficie nucleo (Kernfläche), e che è il luogo de’ punti dello spazio, pei quali la prima superficie polare, rispetto ad una data superficie qualsivoglia del terz’ordine, è un cono di secondo grado.
L’abilissimo analista, signor Clebsch, professore a Carlsruhe, ha osservato1 che l’equazione della superficie nucleo non è altro che l’Hessiano dell’equazione della superficie data. Egli ha dimostrato analiticamente parecchi teoremi dello Steiner, ne ha trovati altri nuovi ed elegantissimi, e ne ha ricavato l’importante riduzione di una forma omogenea cubica con quattro variabili alla somma di cinque cubi.
La maggior parte però di questi bei teoremi perde significato nell’applicazione alle superficie gobbe. Qui mi limito ad osservare, che per queste la superficie nucleo si riduce al sistema de’ due piani che toccano la superficie data ne’ punti cuspidali (vedi il n.º 20).
Da ultimo noterò che la condizione a cui devono soddisfare i parametri del piano
rx + sy + tz + uw = 0
perchè sia tangente alla superficie
x2z — w2y = 0,
è:
r2t + u2s = 0;
- ↑ Journal für die reine und ang. Mathematik, Band 58.
