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| sulle superficie gobbe del terz’ordine. | 275 |
pei tre punti della retta doppia, ove le due superficie si toccano (cioè ne’ punti a, b, o’1.
23. La seconda superficie polare del punto o è il piano polare di o relativo all’iperboloide polare. È assai facile la costruzione di quel piano. Siccome un piano è determinato da tre punti, così se da o si tirano tre trasversali, ciascuna segante la superficie Σ in tre punti, il piano cercato sarà il piano polare del punto o rispetto al triedro formato da tre piani condotti per quelle intersezioni (in modo però che ogni piano contenga un punto di ciascuna trasversale). Il modo più semplice di ottenere un tale triedro è quello di prendere i piani o’E, uD, vD, ove u, v sono i punti considerati al n.º 19. È ben noto come si costruisce il piano polare di un punto rispetto ad un triedro. Il vertice del triedro anzidetto è il punto o’, epperò il piano polare di o passerà per o’, cioè:
Il piano polare di un punto dato, rispetto ad una superficie gobba del terzo grado, incontra la retta doppia nel punto in cui questa superficie è toccata da un piano passante pel polo.
Siccome il punto o’ appartiene alla curva di quart’ordine, intersezione della superficie Σ coll’iperboloide polare di o, così il piano polare incontrerà questa curva in altri tre punti r, s, t (de’ quali uno solo è reale quando i punti u, v sono reali; ed invece tutti sono reali quando questi ultimi sono immaginarj).
24. Se il polo o appartiene alla superficie Σ, l’iperboloide polare contiene la generatrice corrispondente, epperò la curva d’intersezione si decompone nel sistema di questa generatrice e di una cubica gobba (linea del terz’ordine a doppia curvatura). Dunque:
Il sistema formato da una cubica gobba e da una retta appoggiata ad essa in un punto, è un caso particolare della curva di quart’ordine e seconda specie.
Se il polo o cade sulla direttrice E, la curva d’intersezione dell’iperboloide polare colla superficie Σ si decompone in quattro rette, cioè la generatrice passante per o, la direttrice E e le generatrici passanti pei punti cuspidali.
Finalmente, se o appartiene alla retta doppia, l’iperboloide polare si decompone in due piani, cioè ne’ piani che in quel punto toccano la superficie Σ.
25. Dalla teoria generale delle curve e delle superficie, risulta che la curva gobba del quart’ordine, intersezione della superficie Σ coll’iperboloide polare di un punto o,
- ↑ |Se una superficie gobba d’ordine n ha una curva doppia d’ordine b, la curva di contatto col cono circoscritto di vertice o è dell’ordine n(n — 1) — 2b ed incontra la curva doppia ne’ punti ove la superficie data è toccata dalla 1.ª polare di o, cioè nei punti cuspidali e nei punti situati nella 2.ª polare. Se la superficie data è di genere 0, si ha b = ½ (n — 1) (n — 2); il numero de’ punti cuspidali è allora 2(n — 2), quello degli altri punti ½ (n — 1) (n — 2)2 e l’ordine della curva di contatto 2(n — 1).|
