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| 272 | sulle superficie gobbe del terz’ordine. |
19. Immaginiamo il piano oE, condotto pel polo e per la direttrice non doppia; esso sega la superficie Σ secondo il sistema di tre rette, cioè la direttrice E e due generatrici, le quali incontrino E in due punti u, v, e siano appoggiate alla retta doppia nel punto w. La conica polare di o, rispetto al triangolo uvw, è circoscritta al triangolo stesso, com’è notissimo; epperò i punti u, v sono quelli ne’ quali la retta E è incontrata dall’iperboloide polare. Ma i punti u, v sono anche quelli in cui il piano oE tocca la superficie Σ, cioè sono due punti conjugati di quell’involuzione che le generatrici della superficie del terzo grado formano sulla direttrice E; dunque:
La direttrice non doppia di una superficie gobba del terzo grado è divisa armonicamente dai piani tangenti ne’ punti cuspidali e dall’iperboloide polare di un punto arbitrario.
E per conseguenza:
La direttrice non doppia di una superficie gobba del terzo grado è tangente all’iperboloide polare di un punto qualunque, preso in uno dei due piani che passano per la direttrice medesima e per uno de’ punti cuspidali.
Viceversa, perchè un iperboloide passante per la retta doppia, e tangente ne’ punti cuspidali alla superficie Σ, possa essere la superficie polare di alcun punto nello spazio, basta ch’esso passi per una coppia di punti conjugati dell’involuzione esistente sulla retta E.
20. Vediamo ora come si possa costruire l’iperboloide polare di un dato punto o. La retta che partendo da o si appoggia alle direttrici D, E della superficie Σ, incontrerà, oltre D, un’altra generatrice, dello stesso sistema, dell’iperboloide. Per trovare questa generatrice, considero le generatrici A, B passanti pei punti cuspidali (vedi il n.º 5), Sia ρ il piano conjugato armonico del piano o (AD) (BE)1 rispetto ai due AD, BE, e sia ρ’ il coniugato di AD rispetto ai due ρ, BE. È facile vedere che il piano ρ’ passa per la generatrice desiderata. Analogamente si trova un piano σ’ passante per la retta intersezione de’ piani AE BD; e la generatrice richiesta è la retta secondo cui si segano i piani ρ’, σ’.
Ciò posto, l’iperboloide polare si può generare mediante l’intersezione de’ piani corrispondenti di due fasci omografici, gli assi de’ quali siano le rette D e ρ’σ’; ponendo come corrispondenti i piani AD e σ’; BD e ρ’; oD ed o’(ρ’σ’).
La precedente costruzione mostra, che se il polo o si trova nel piano AD, l’iperboloide degenera in un cono di secondo grado col vertice in a; e se o si trova nel piano BD, l’iperboloide diviene un cono col vertice in b; dunque:
I piani che toccano una superficie gobba del terzo grado ne’ suoi punti cuspidali,
- ↑ Cioè il piano passante per o e per la retta intersezione dei piani AD, BE.
