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270 sulle superficie gobbe del terz’ordine.


Una retta arbitraria incontra il fascio di coni in una doppia serie di punti in involuzione, ed il fascio di piani in una semplice serie di punti, projettiva alla prima. Le due serie hanno in generale tre punti doppj, epperò la superficie richiesta è del terz’ordine. È evidente che essa conterrà le quattro rette date. Inoltre, siccome il piano DG sega il cono corrispondente, cioè il sistema de’ piani DO, DO’ secondo una conica che riducesi al sistema di due rette coincidenti (DD), così la retta D è doppia sulla superficie, e per conseguenza questa è gobba.

17. Il principio di dualità somministra poi queste altre proprietà:

I punti di una generatrice di una superficie gobba del terzo grado, considerati come vertici d’altrettanti coni di secondo grado circoscritti a questa, e le coniche intersezioni di questi coni con uno stesso piano condotto ad arbitrio per la direttrice non doppia, formano due sistemi projettivi.

Sian dati due sistemi projettivi, l’uno di punti sopra una retta G, l’altro di coniche tangenti due rette date O, O’ (reali o no), ed un’altra retta data E in un punto dato. Supponiamo inoltre che le rette E, G siano concorrenti in un punto, al quale corrisponda, nel secondo sistema, il complesso de’ due punti EO, EO’ (risguardato come un inviluppo di seconda classe). La superficie inviluppata dai coni che passano per quelle coniche ed hanno i vertici ne’ corrispondenti punti di G, è gobba e del terzo grado; per essa la retta E è la direttrice non doppia, e G, O, O’ sono tre generatrici.

Dalle cose che precedono, consegue che:

Una superficie gobba del terzo grado è individuata dalla retta doppia, da tre punti, e da tre generatrici, due delle quali (reali o immaginarie) si appoggino alla retta doppia in uno stesso punto.

Una superficie gobba del terzo grado è individuata dalla retta doppia e da nove punti.

Una superficie gobba del terzo grado è individuata dalla direttrice non doppia, da tre piani tangenti e da tre generatrici, due dalle quali (reali o no) siano in uno stesso piano colla direttrice.

Una superficie gobba del terzo grado è individuata dalla direttrice non doppia e da nove piani tangenti.

Ecc. ecc.

18. Dato un punto qualunque o nello spazio, la sua prima superficie polare, rispetto alla superficie Σ, per la nota teoria delle curve e delle superficie polari, del second’ordine. Se per o conduciamo un piano π arbitrario, esso sega la superficie Σ secondo una linea del terzo ordine, che ha un punto doppio nell’intersezione del piano π colla retta doppia D. Lo stesso piano π segherà la superficie prima polare di o secondo