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| sulle superficie gobbe del terz’ordine. | 269 |
il piano sega la superficie. Fra quei punti, quello che spetta alla direttrice doppia, è il punto doppio della sezione. Ora una curva del terz’ordine con punto doppio è completamente determinata da questo e da sei punti ordinarj, e si sa costruirla colle intersezioni di due fasci projettivi, l’uno di rette e l’altro di coniche1.
Colla costruzione correlativa si otterrà il cono circoscritto alla superficie Σ, ed avente il vertice in un punto dato arbitrariamente nello spazio.
15. Considero ancora un piano che, passando per la generatrice G seghi la superficie Σ in una conica, ed immagino il cono avente per base questa conica ed il vertice in un punto o, preso ad arbitrio sulla retta doppia D . Questo cono ha evidentemente per generatrici la retta D e quelle due generatrici di Σ che passano per o; inoltre lo stesso cono è toccato lungo D dal piano DG’, ove G’ sia la generatrice di Σ che incontra la retta doppia insieme con G.
È pure evidente che, comunque ruoti quel piano intorno a G, epperò varii il cono per mezzo del quale vedesi dal punto fisso o la conica, sezione della superficie Σ, quelle tre generatrici e quel piano tangente restano invariabili; onde si ha un fascio di coni aventi in comune tre generatrici ed il piano tangente lungo una di queste. Siccome poi, ad ogni piano condotto per G corrisponde un determinato cono nel fascio, e reciprocamente, così i coni anzidetti ed i piani per G si corrispondono anarmonicamente, cioè formano due sistemi proiettivi. Dunque:
I piani tangenti di una superficie gobba del terzo grado, passanti per una stessa generatrice, ed i coni per mezzo de’ quali si veggono da un punto fissato ad arbitrio sulla retta doppia le coniche inscritte nella superficie e paste in quei piani, formano due fasci projettivi.
Osserviamo che quando il piano mobile intorno a G passa per D, la conica degenera nel sistema di due rette coincidenti colla stessa D; epperò il corrispondente cono è il sistema dei due piani che toccano la superficie Σ nel punto o. Questa osservazione gioverà per ciò che segue. {Anche al piano GE corrisponde un cono riducentesi a due piani: il piano DG’ed il piano delle due generatrici per o, cioè il piano oE.}
16. Sian dati due fasci projettivi, l’uno di piani passanti per una data retta G, l’altro di coni di secondo grado passanti per tre date generatrici O, O’ (queste due reali o immaginarie) e D, e toccanti lungo quest’ultima un piano dato. Supponiamo inoltre che le rette D, G siano in uno stesso piano, al quale corrisponda, nel secondo fascio, il sistema de’ due piani DO, DO’. Di qual natura è la superficie luogo delle coniche intersezioni dei piani del primo fascio coi coni corrispondenti del secondo?
- ↑ Jonquières, Mélanges, etc., pag. 190.
