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| 268 | sulle superficie gobbe del terz’ordine. |
retta fissa, e in modo che il polo della prima retta rispetto alla conica scorra su d’una terza retta data nel piano fisso; la conica genererà una superficie gobba del terzo grado, per la quale le prime due rette date sono generatrici, mentre la retta che unisce i loro punti d’incontro col piano fisso è la retta doppia.
13. Ecco i teoremi correlativi:
I piani polari di una stessa generatrice di una superficie gobba del terzo grado, rispetto a tutt’i coni di secondo grado circoscritti a questa ed aventi i vertici in quella generatrice, passano per una retta appoggiata alle due direttrici della superficie gobba. Il luogo delle rette analoghe a questa, e corrispondenti alle diverse generatrici, è un’altra superficie gobba del terzo grado, polare reciproca della data (la stessa del numero precedente).
Se un cono di secondo grado, mobile, percorre col vertice una retta fissa, e passa per un punto fisso, nel quale sia toccato da un piano passante per quella retta; se inoltre il cono ha costantemente un piano tangente, passante per una seconda retta fissa, e se il piano polare della prima retta, rispetto al cono, ruota intorno ad una terza retta data, passante pel punto fisso; l’inviluppo di quel cono sarà una superficie gobba del terzo grado, per la quale le prime due rette date sono generatrici, mentre la retta intersezione de’ piani da esse determinati col punto fisso è la direttrice non doppia.
14. Supponiamo che una superficie gobba Σ di terzo grado sia individuata per mezzo delle due direttrici e di cinque generatrici. Condotto un piano per una di queste, esso sarà un piano tangente della superficie. Si domanda il punto di contatto.
Questo piano segherà la retta doppia in un punto g, situato sulla generatrice per cui passa, e segherà le altre generatrici ne’ punti h, k, l, m. La conica, intersezione della superficie col piano tangente, è determinata dai cinque punti g, h, k, l, m; e si tratta di trovare il punto in cui la generatrice G passante per g la sega di nuovo. A tale intento, basta ricorrere al teorema di Pascal. Le rette G, lm concorrono in un punto p; le hg, km in q; la pq incontri hl in r; la rk segherà G nel punto cercato.
Sia invece dato un punto sopra una delle cinque generatrici, e si domandi il piano che ivi tocca la superficie. Quel punto determina colla direttrice non doppia un piano α, passante per la generatrice G, di cui si tratta, e colle altre quattro generatrici altrettanti piani β, γ, δ, ε. Questi cinque piani determinano il cono di secondo grado, circoscritto alla superficie Σ, ed avente il vertice nel punto dato. Si tratta dunque di trovare il secondo piano tangente a questo cono, passante per quella generatrice G per cui passa già α. Le rette G, δε determinato un piano μ; le βα, γε un altro piano ν; le βδ, μν un terzo piano π; le rette πγ, G individueranno il piano desiderato.
Un piano qualsivoglia dato sega le sette rette, mediante le quali è individuata la superficie Σ, in altrettanti punti appartenenti alla curva di terz’ordine, secondo la quale
