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sulle superficie gobbe del terz’ordine. 267


La superficie generata da una retta mobile, la quale si appoggi a due rette date, e si trovi ad ogni istante in un piano tangente di un dato cono di secondo grado, un piano tangente del quale passi per una di quelle due rette, è del terzo grado.

La retta doppia di una superficie gobba di terzo grado incontra nella stessa coppia di punti (reali o immaginarj), cioè nei punti cuspidali, tutti i coni di secondo grado circoscritti alla superficie. I piani tangenti ai coni in quei punti passano per le due generatrici che s’appoggiano alla retta doppia nei punti medesimi.

Dati due fasci projettivi, l’uno di piani tangenti ad un cono di secondo grado, l’altro di piani passanti per una retta, le rette intersezioni de’ piani corrispondenti formano una superficie del terzo grado (per la quale la retta data è la direttrice doppia).

12. Considero una generatrice G appoggiata alla retta doppia D nel punto g. Se intorno a quella generatrice si fa rotare un piano, esso sega la superficie Σ secondo una conica che passa costantemente pel punto g, ed ivi tocca un piano fisso, cioè quel piano DG’ che passa per la direttrice doppia, e per quella generatrice G’ che appoggiasi pure in g alla retta D. Il polo della retta G rispetto a quella conica si troverà dunque nel piano DG’. Ma siccome la generatrice G incontra anche l’altra direttrice E, così, se per questa s’immaginano condotti i piani tangenti alla conica, il piano EG ed inoltre il piano EΓ conjugato armonico di quest’ultimo rispetto ai due primi, è evidente che il piano EΓ deve pure passare per quel polo. Ora, i piani DG’, EΓ sono fissi, cioè non variano, comunque ruoti intorno a G il piano della conica; dunque, variando questo piano, il polo di G rispetto alla conica variabile percorre la retta Γ comune ai piani DG’, EΓ. Ossia:

I poli di una stessa generatrice di una superficie gobba del terzo grado, relativi a tutte le coniche in essa inscritte e poste in piani passanti per quella generatrice, sono in una retta appoggiata alle due direttrici della superficie medesima.

Variando la generatrice G, varia la corrispondente retta Γ, che però rimane sempre appoggiata alle D, E; onde segue, che il luogo della retta Γ, è un’altra superficie gobba del terzo grado, che ha le rette direttrici in comune colla data: superficie, che è evidentemente polare reciproca della proposta Σ. Ossia:

Il luogo dei poli delle generatrici di una superficie gobba del terzo grado, rispetto alle coniche inscritte in questa e poste in piani rispettivamente passanti per le generatrici medesime, è un’altra superficie gobba del terzo grado, polare reciproca della data.

Da quanto precede segue inoltre:

Se intorno ad una retta fissa si fa girare un piano, e in questo si descriva una conica toccante un piano fisso nel punto in cui esso è incontrato da quella retta; se nel movimento del piano, la conica si deforma appoggiandosi costantemente ad una seconda