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| 266 | sulle superficie gobbe del terz’ordine. |
di contatto sono situati nelle due generatrici, che incontrano la retta doppia ne’ punti cuspidali.
9. Qual è il grado della superficie generata da una retta che si muova appoggiandosi costantemente ad una conica K e a due rette D, E, la prima delle quali incontri la conica in un punto? Immagino una retta arbitraria T; tutte le rette che simultaneamente incontrano le tre rette D, E, T, formano un iperboloide, il quale sega il piano della conica K secondo un’altra conica. Le due coniche passano emtrambe per la traccia di D, epperò si segheranno generalmente in tre altri punti; ossia l’iperboloide ha tre generatrici appoggiate alla conica K; dunque tre sono le rette che incontrano a un tempo D, E, T e K, epperò:
La superficie generata da una retta mobile che si appoggi costantemente ad una conica ed a due rette, una delle quali abbia un punto comune colla conica, è del terzo grado. La direttrice rettilinea che ha un punto comune colla conica, è la retta doppia della superficie.
Viceversa, ogni superficie gobba del terzo grado ammette tale generazione.
10. Se consideriamo la direttrice E ed una conica K inscritta nella superficie Σ, ad ogni punto dell’una di esse corrisponde un punto nell’altra, e viceversa: i punti corrispondenti sono quelli per cui passa una stessa generatrice della superficie. Ossia:
Le generatrici di una superficie gobba del terzo grado determinano sulla direttrice rettilinea non doppia, e sopra una qualsivoglia conica inscritta nella superficie, due serie projettive di punti.
Io ho già dimostrato, nella Memoria Sur quelques propriétés des lignes gauches de troisième ordre et classe1, il teorema inverso:
Date due serie projettive di punti, l’una sopra una retta e l’altra sopra una conica, situate comunque nello spazio, le rette che uniscono i punti corrispondenti formano una superficie del terzo grado.
11. In virtù del principio di dualità, possiamo anche enunciare i seguenti teoremi, che si dimostrano colla stessa facilità de’ precedenti.
Un punto qualunque di una superficie gobba del terzo grado, il quale non giaccia in una delle due direttrici rettilinee, è il vertice di un cono di secondo grado, circoscritto a quella. De’ due piani tangenti a questo cono, che in generate ponno condursi per la generatrice passante per quel punto, l’uno passa per la direttrice non doppia, mentre l’altro è il piano tangente alla superficie data nel vertice del cono.
Ogni cono di secondo grado, circoscritto ad una superficie gobba del terzo, ha un piano tangente passante per la direttrice non doppia di questa.
