 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| sulle superficie gobbe del terz’ordine. | 263 |
la superficie stessa sarebbe evidentemente il complesso di un piano e d’una superficie di second’ordine, ovvero di tre piani.
Nè la retta singolare D può divenire cuspidale, in luogo d’essere puramente doppia. Perchè, se in ogni punto di D i due piani tangenti alla superficie coincidessero, coinciderebbero anco le due generatrici che partono da quello; epperò da ogni punto di D, come da ogni punto di E, partirebbe una sola generatrice. Dunque le rette D, E sarebbero dalle generatrici divise omograficamente, e la superficie diverrebbe un iperboloide.
Se una superficie di terz’ordine ha una retta doppia, ogni piano passante per questa segherà la superficie in una retta; dunque:
Ogni superficie di terz’ordine, nella quale sia una retta doppia, è rigata.
5. Dal fatto che per ciascun punto della direttrice doppia D passano due generatrici poste in un piano passante per la seconda direttrice E, risulta che:
In ciascun punto della retta doppia di una superficie gobba di terzo grado, questa è toccata da due piani; tali coppie di piani formano un’involuzione. Ciascun piano passante per l’altra direttrice rettilinea tocca la superficie in due punti; tali coppie di punti sono in involuzione. Le due involuzioni sono prospettive (cioè i piani della prima passano pei punti della seconda).
In altre parole: siccome le generatrici della superficie Σ a due a due incontrano in uno stesso punto la retta doppia D, e sono in un piano passante per l’altra direttrice E, così esse generatrici determinano coi loro punti d’appoggio una serie di segmenti in involuzione sulla retta E, ed una semplice serie di punti sulla retta D; e le due serie si corrispondono anarmonicamente. Se l’involuzione ha i punti doppj reali, e siano a’, b’, da essi partiranno due generatrici A, B, che andranno ad incontrare la retta doppia D nei corrispondenti punti a, b. Questi due punti hanno dunque la speciale proprietà, che da ciascun d’essi parte una sola generatrice, cioè in ciascun d’essi i due piani tangenti coincidono. Per conseguenza, essi sono due punti cuspidali. I piani tangenti in questi punti incontrano la direttrice E in a’ e b’. È del pari evidente che i due piani EA, EB hanno, fra tutti i piani passanti per E, l’esclusiva proprietà di contenere, ciascuno, una sola generatrice, che conta per due nel grado della sezione; epperò ciascuno di questi piani tocca la superficie lungo tutta la rispettiva generatrice.
Le generatrici della superficie Σ determinano a due a due una coppia di piani passanti per D, ed un solo piano passante per E; ossia determinano due fasci projettivi, l’uno doppio involutorio di piani passanti per D, l’altro semplice di piani passanti per E. I piani DA, DB sono evidentemente i piani doppj dell’involuzione anzidetta. Dunque:
I punti ne’ quali le generatrici di una superficie gobba di terzo grado si appoggiano
