 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| 262 | sulle superficie gobbe del terz’ordine. |
nelle superficie del second’ordine, appunto perchè esse sono in pari tempo della seconda classe.
Per esprimere con una sola parola il doppio concetto dell’ordine e della classe, dirò che una superficie gobba è del grado n, quando una retta arbitraria incontra n sue generatrici rettilinee.
3. Sia proposta una superficie gobba Σ del terzo grado; assunte ad arbitrio quattro generatrici G, H, K, L, siano D, E le due rette chee le incontrano tutt’e quattro. Ciascuna delle rette D, E ha quattro punti in comune colla superficie data, epperò giace per intero in essa.
Considero ora il piano EG, il quale contenendo già, oltre la retta E, la generatrice G, segherà la superficie in una nuova generatrice G’, poichè la sezione fatta da un piano qualsivoglia è una linea d’ordine eguale a quello della superficie. Le tre rette E, G, G’ costituiscono la completa intersezione di quel piano colla superficie; dunque il piano medesimo sega tutte le generatrici in punti appartenenti alla retta E; ossia, tutte le generatrici della superficie Σ incontrano la retta E. Per la stessa ragione, esse incontrano la retta D; dunque D, E sono due direttrici rettilinee della proposta superficie. È evidente che non vi può essere una terza direttrice rettilinea; epperò:
Ogni superficie gobba del terzo grado ammette due direttrici rettilinee.
Considerando di nuovo il piano EGG’, e ritenendo che le generatrici G, G’ incontrino la direttrice E in due punti distinti, esse andranno necessariamente ad incontrare l’altra direttrice D in uno stesso punto, là, cioè, dove questa attraversa il piano EGG’. In questo punto la direttrice è incontrata da due generatrici, epperò ivi la superficie Σ ammette due piani tangenti, DG e DG’; dunque, quello è un punto doppio. Analogamente è un punto doppio quello in cui la direttrice D è incontrata da qualunque altra generatrice: il che significa essere D una retta doppia sulla superficie Σ. Da ogni punto di D partono due generatrici, situate in un piano passante per E. Ogni piano passante per D contiene una sola generatrice: la retta D conta per due nel grado della sezione. Ossia:
Ogni superficie gobba del terzo grado ha una retta doppia, la quale è una delle due direttrici rettilinee.
4. Una superficie gobba di terzo grado non può avere altra linea multipla. In fatti, un piano qualsivoglia sega la superficie in una linea del terz’ordine, e le linee multiple di quella in punti, che sono multipli per questa linea. Ora, una linea del terz’ordine non può avere più di un punto multiplo, senza degenerare nel sistema di una retta ed una conica, o nel sistema di tre rette; e d’altronde se un piano qualsivoglia segasse la superficie secondo una retta ed una conica, ovvero secondo tre rette,
