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intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria.

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La retta che unisce il punto (t), considerato come appartenente alla seconda figura, col suo omologo, è:

a (b — c) nx — c (a — b) lz + ${\frac {l}{mt}}\left(c(a-b)mz-b(c-a)ny\right)$ = 0

la quale, qualunque sia t, passa pel punto (4).

La retta che unisce il punto (4) considerato come appartenente alla seconda figura, col suo omologo, è rappresentata dall’equazione precedente, ove si faccia:

t = ${\frac {a(c-b)}{b(c-a)}}$,

cioè dalla:

${\frac {a^{2}(b-c)^{2}}{l}}x+{\frac {b^{2}(c-a)^{2}}{m}}y+{\frac {c^{2}(a-b)^{2}}{n}}z=0$

epperò la retta medesima è tangente alla conica nel punto (4).

Così è dimostrato il teorema:

Date due figure omografiche in un piano, ed una conica circoscritta al triangolo formato dalle tre rette doppie, tutte le rette che congiungono i punti di essa, considerati come facenti parte della prima figura, ai loro omologhi, concorrono in uno stesso punto A, il quale appartiene alla conica medesima. Considerando A come punto della seconda figura, ha il suo omologo B, il quale appartiene esso pure alla conica, ed è quello in cui concorrono tutte le rette congiungenti i punti della conica (come punti della seconda figura) ai loro omologhi. I punti A e B, considerati come appartenenti, quello alla prima e questo alla seconda figura, hanno i rispettivi omologhi C e D. Le rette AC e BD sono tangenti alla conica.

Osservazione. In luogo delle formole precedenti se ne sarebbero ottenute altre meno semplici ma del tutto simmetriche, quando si fossero assunte le equazioni:

x : y : z = ${\frac {l}{(m-n)(l+t)}}$ : ${\frac {m}{(n-l)(m+t)}}$ : ${\frac {n}{(l-m)(n+t)}}$

in luogo di quelle assunte effettivamente per rappresentare il punto generico sulla conica (1). Una osservazione analoga valga per le proposizioni che seguono.

3.

L’equazione generale di una conica inscritta nel triangolo:

x = 0,     y = 0,     z = 0