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prolusione ad un corso di geometria superiore. 249

conica suaccennata. Dunque due sistemi piani correlativi ponno sempre essere sovrapposti in guisa da riuscire polari reciproci1.


Passeremo poi a studiare le forme geometriche più generali, composte di punti, rette e piani disposti nello spazio secondo leggi quali si vogliano. Due tali forme (o sistemi) diconsi projettive quando ad un punto, ad una retta, ad un piano in ciascuna d’esse corrispondano nell’altra rispettivamente un punto, una retta ed un piano (omografia o collineazione), ovvero un piano, una retta ed un punto (correlazione).

L’omografia comprende un caso interessantissimo ed è la così detta omologia o prospettiva in rilievo che ha luogo quando due punti corrispondenti sono costantemente in linea retta con un punto fisso (centro d’omologia), e due piani corrispondenti si segano in una retta posta in un piano invariabile (piano d’omologia). Nell’omologia, in generale, a ciascun punto dello spazio ne corrispondono due distinti, secondo il sistema a cui quel punto si riferisce. Ma, come caso particolare, se si suppongono coincidenti i due piani che corrispondono all’infinito, allora ad ogni punto e ad ogni piano non corrisponde che un punto od un piano, a qualunque sistema si faccia appartenere quel punto o quel piano. Questa omologia speciale dicesi armonica od involutoria. Dicesi armonica perchè la retta congiungente due punti coniugati è divisa armonicamente dal centro e dal piano di omologia, e l’angolo di due piani coniugati è diviso armonicamente dal piano d’omologia e dal piano condotto pel centro d’omologia e per la retta comune ai due piani anzidetti. La denominazione involutoria poi esprime il concetto che un punto qualunque, sia riferito all’uno o all’altro sistema, ha sempre lo stesso corrispondente.

V’ha un’altra specie di omografia involutoria nello spazio, che non è compresa nell’omologia, e che il signor Möbius2 denomina involuzione di seconda specie, per distinguerla dall’omologia armonica ch’ei chiama involuzione di prima specie. Mentre nell’involuzione di prima specie i punti doppi, cioè i punti che coincidono coi loro coniugati, sono, oltre il centro d’omologia, tutti quelli del piano d’omologia; invece nell’involuzione di seconda specie i punti doppi sono in due rette (reali o imaginarie) non situate in uno stesso piano. Ogni retta congiungente due punti coniugati è incontrata dalle due rette doppie, e da esse divisa armonicamente; e così pure ogni retta intersezione di due piani coniugati incontra le rette doppie e con esse determina due piani che dividono armonicamente l’angolo de’ due piani coniugati.


  1. Plücker, System der analyt. Geometrie, Berlin, 1835; p. 78 e seg.
  2. Berichte über die Verhandlunen der K. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig; Mathematisch-physische Classe. 1856, Heft 2.