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| prolusione ad un corso di geometria superiore. | 247 |
Sin qui non abbiamo considerato che le più semplici forme geometriche: rette punteggiate, stelle e fasci di piani. Ora saliamo allo studio di forme più complesse.
Un piano può considerarsi come luogo di punti e rette, cioè come una forma geometrica, gli elementi della quale siano punti e rette. Due piani si diranno projettivi quando ad ogni punto e ad ogni retta in ciascun di essi corrisponda nell’altro un punto ed una retta, ovvero una retta ed un punto rispettivamente. Nel primo caso i piani projettivi diconsi omografici o collineari, nel secondo correlativi. In due piani projettivi, ad una curva dell’ordine n corrisponde un’altra curva che è dell’ordine n pur essa se le due forme sono omografiche, e invece è della classe n se le due forme sono correlative. Per quanto sia generale la definizione di due piani projettivi omografici, pure ha luogo questa interessante proprietà: i due piani si ponno sempre (in infiniti modi) talmente situare che le rette congiungenti a due a due i punti omologhi concorrano in uno stesso punto; nella qual giacitura le due forme sono l’una la prospettiva dell’altra.
Se due piani projettivi omografici non giacciono prospettivamente ma comunque, due rette omologhe non sono in generale nello stesso piano; pure vi sono infinite coppie di rette omologhe che hanno tale proprietà, e i piani da esse individuati sono tutti osculatori di una curva gobba del terz’ordine1.
Se si sovrappongono i piani di due figure omografiche, in modo affatto arbitrario, sempre avverrà che almeno uno e in generale al più tre punti coincidano coi rispettivi corrispondenti. Questi tre punti formano un triangolo i cui lati sono rette sovrapposte alle loro omologhe. È interessante il tener dietro alle successive variazioni che subisce questo triangolo quando si faccia scorrere l’un piano sull’altro. Ma la sovrapposizione de’ due piani può sempre essere fatta in modo che le rette congiungenti i punti omologhi concorrano in uno stesso punto; allora i punti d’intersezione delle rette omologhe cadono su di una stessa retta. Tale disposizione delle due figure o de’ due piani omografici, che ha la più perfetta analogia colla prospettiva, dicesi omologia; quel punto e quella retta appellansi centro e asse d’omologia. Se l’asse d’omologia è a distanza infinita, si ha l’omotetia. Se invece è il centro di omologia a distanza infinita, le due figure sono derivabili l’una dall’altra mediante una deformazione consistente in un aumento o decremento proporzionale delle ordinate relative ad un asse fisso.
Quando due piani omografici sono sovrapposti, ossia quando due forme omografiche sono in uno stesso piano, ad un punto qualunque di questo piano corrispondono due punti distinti, l’uno o l’altro cioè secondo che quello si risguardi come appartenente alla prima o alla seconda forma. Ma v’ha un caso speciale e interessantissimo, com-
