 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| prolusione ad un corso di geometria superiore. | 243 |
che quel primo si attribuisca a questa o a quella forma. Ma la sovrapposizione può sempre essere fatta in modo che quei due elementi omologhi al primo imaginato coincidano fra loro, cioè a un dato elemento ne corrisponda un altro unico, qualunque sia la forma a cui quello si faccia appartenere. A questa speciale sovrapposizione di due forme projettive si dà appunto il nome d’involuzione.
Queste teorie, improntate di tanta generalità, riescono nell’esposizione sì semplici e facili che ad intenderle basta anco la sola conoscenza degli elementi di Euclide. Ma è ancor più mirabile l’estensione e l’importanza delle loro applicazioni. Quelle teorie costituiscono un vero stromento per risolvere problemi e ricercare proprietà: stromento non meno sorprendente per la sua semplicità che per la sua potente efficacia. E perchè l’utilità di queste dottrine sia da voi sentita in tutta la sua pienezza, io tenterò di svolgervele non nel solo aspetto delle proprietà descrittive, ma anche in quello non meno importante delle relazioni metriche: nel quale cammino mi servirà di stella polare il metodo di Chasles. Voi vedrete adunque, allato ai teoremi di posizione svilupparsi quelle serie di equazioni fra segmenti di rette, di cui il grande geometra francese ha fatto un uso veramente magico e che fecero dare alla sua geometria l’espressivo epiteto di segmentaria1.
Ho parlato di applicazioni e vo’ citarvene alcuna. Le proprietà armoniche e involutorie del quadrilatero e del quadrangolo complete, le relazioni fra i segmenti determinati da un poligono qualunque su di una trasversale, molti teoremi analoghi ai celebri porismi di Euclide e di Pappo e relativi ad un poligono che si deformi sotto condizioni date, il teorema di Desargues su due triangoli che abbiano i vertici a due a due per diritto con uno stesso punto dato, una serie di teoremi sui triangoli inscritti gli uni negli altri ed analoghe proposizioni per la geometria nello spazio: tutto ciò voi vedrete emergere come ovvie conseguenze, quasi senza bisogno di dimostrazioni apposite, dalle premesse teorie. Queste medesime offrono immediatamente le più semplici e generali soluzioni di tre problemi famosi appo gli antichi, per ciascun de’ quali Apollonio Pergeo aveva scritto un trattato ad hoc, cioè i problemi della sezione determinata, della sezion di ragione e della sezion di spazio. La soluzione di questi problemi riducesi alla costruzione de’ punti doppi di due punteggiate projettive sovrapposte, e rientra in un metodo che ha molta analogia colla regola di falsa posizione in aritmetica: metodo che è suscettibile d’essere applicato ad un gran numero di quistioni diversissime, e fra le altre alla seguente: dati due poligoni d’egual numero di lati, costruirne un terzo che sia inscritto nel primo e circoscritto al secondo2.
