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| 242 | prolusione ad un corso di geometria superiore. |
rapporto1 e Chasles rapporto anarmonico2: denominazione seguita ora dai più.
Se invece di quattro punti in linea retta assumete quattro rette in un piano incrociantisi in un punto, ovvero quattro piani passanti per una stessa retta, e se invece de’ segmenti compresi fra punti ponete i seni degli angoli compresi da rette o da piani, voi avrete ciò che si chiama rapporto anarmonico di quattro rette o di quattro piani.
Or bene: in due forme geometriche projettive il rapporto anarmonico di quattro elementi quali si vogliono dell’una è eguale al rapporto anarmonico de’ quattro elementi omologhi nell’altra. Questa interessante proprietà è suscettibile di mirabili conseguenze in tutto il campo della geometria e serve sopra tutto a dedurre le proprietà metriche delle figure dalle loro proprietà descrittive o viceversa. Noi daremo un’attenzione speciale al caso che il rapporto anarmonico di quattro elementi sia eguale all’unità negativa; allora essi costituiscono un sistema armonico. La divisione armonica era nota anche agli antichi; anzi in Pappo Alessandrino troviamo parecchie proposizioni differenti solo per l’enunciato da certi teoremi che oggidì si fanno dipendere dalla considerazione del rapporto anarmonico.
Lo studio delle forme projettive dà luogo a molte ed importanti proprietà, parecchie delle quali si connettono colla giacitura relativa delle forme. Di sommo interesse sono quelle che nascono dal considerare due forme dello stesso genere sovrapposte l’una all’altra, cioè due serie di punti sulla stessa retta, o due stelle concentriche33, o due fasci di piani collo stesso asse. Due forme projettive sovrapposte presentano due elementi doppi, cioè due elementi che coincidono coi rispettivi corrispondenti: elementi che ponno però anche essere imaginari, ovvero in casi particolari ridursi ad uno solo, appunto come avviene delle radici di un’equazione quadratica. Le forme projettive sovrapposte ci condurranno a quella mirabile teoria che è l’involuzione. Il celebre Desargues chiamò pel primo con questo vocabolo la proprietà segmentaria de’ sei punti in cui una sezione conica ed i lati di un quadrangolo inscritto sono segati da una trasversale qualunque. Chasles però, questo principe de’ moderni geometri francesi, al quale è dovuta tanta parte de’ recenti progressi della geometria, ha fondato la dottrina dell’involuzione sopra nozioni assai più semplici. Se voi imaginate sovrapposte l’una all’altra due forme geometriche dello stesso genere, un elemento qualunque potrà indifferentemente considerarsi come spettante all’una o all’altra forma, onde ad esso corrisponderanno in generale due elementi distinti, cioè l’uno o l’altro secondo
