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| prolusione ad un corso di geometria superiore. | 241 |
cipali plaghe di cui si compone il vastissimo dominio della nostra scienza, e studiarmi di porgervi un’imagine dell’estensione, della ramificazione, della maestosa bellezza delle sue dottrine. In me non sento altra forza che l’amore alla scienza, ma quest’amore è vivissimo, e me beato se esso mi darà potenza d’infondere in voi, o giovani, quella sete di studii senza la quale nulla si fa di bello e di grande!
Oggetto de’ primi nostri studi saranno le proprietà projettive delle più semplici forme geometriche, quali sono: una serie di punti in linea retta o retta punteggiata; una stella ossia fascio di rette poste in un piano e passanti per uno stesso punto; un fascio di piani passanti per una stessa retta. Ciascuna di queste forme è il complesso di più elementi in numero indefinito, soggetti ad una determinata legge: nella prima forma gli elementi sono punti allineati sopra una retta; nella seconda sono rette in un piano incrociantisi in uno stesso punto (centro della stella); nella terza sono piani vincolati dalla condizione di tagliarsi fra loro lungo una stessa retta (asse del fascio).
Noi diremo che due forme sono projettive1 quando i loro elementi sono collegati da tal legge di corrispondenza, che a ciascun elemento dell’una corrisponda un solo elemento dell’altra ed a ciascun elemento di questa un solo di quella32. Da questa semplice definizione si deduce che, fissati ad arbitrio in due forme tre elementi dell’una e tre elementi dell’altra come corrispondenti, tutto il resto cessa d’essere arbitrario, cioè ad ogni quarto elemento di una forma corrisponderà un determinato elemento dell’altra. E a questo proposito vi saranno apprese facilissime regole grafiche per costruire, dati elementi sufficienti, una forma projettiva ad una data.
Trarremo dalla data definizione un altro corollario che è della più grande importanza. Supponiamo di avere una retta finita e in essa o sul suo prolungamento sia fissato un punto; le distanze di questo dai termini della retta data, prese con opportuni segni, rispondenti al senso di lor direzione, dirannosi i segmenti in cui la retta è divisa da quel punto. Imaginate ora quattro punti in linea retta, considerati in un certo ordine; il rapporto de’ segmenti che il terzo punto determina sulla retta avente gli estremi ne’ primi due, diviso pel rapporto de’ segmenti individuati nella stessa retta dal quarto punto, è quella espressione che Möbius chiamò dapprima rapporto di doppia sezione de’ quattro punti dati (ratio bissectionalis)2, poi Steiner più brevemente doppio-
- ↑ Steiner, Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander, Berlin 1832.
- ↑ Möbius, Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, p. 244.
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